กำหนดให้ $A = \{ 1, 2, 3, ..., 155 \}$ และ $i$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง $i^2 = -1$

ถ้า $\displaystyle B = \left\{ x \in A \left| \left( \frac{1+i}{1-i} \right)^{2x - 5} = i^{x-2} \right. \right\}$ แล้ว ข้อใดคือจำนวนสมาชิกของเซต $B$

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปสมการในเซต $B$[/STEP]

จาก $\displaystyle \left( \frac{1+i}{1-i} \right)^{2x - 5} = i^{x-2}$

เราจัดรูปโดยคูณคอนจูเกต

\begin{eqnarray*}
\frac{1+i}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1^2 + 2i + i^2}{1 - (-1)} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = i
\end{eqnarray*}

แสดงว่าสมการคือ

\begin{eqnarray*}
i^{2x - 5} &=& i^{x - 2}\\
\frac{i^{2x-5}}{i^{x-2}} &=& 1\\
i^{(2x-5)-(x-2)} &=& 1\\
i^{x - 3} &=& 1
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาเลขชี้กำลังของ $i$[/STEP]

จะเห็นว่า $i^n = 1$ เมื่อ $n = 4, 8, 12, ...$ หรือ $n$ หารด้วย $4$ ลงตัวนั่นเอง

เราจึงได้ว่า $x - 3$ คือจำนวนเต็มที่หารด้วย $4$ ลงตัว หรือ $x$ คือจำนวนเต็มที่หารด้วย $4$ แล้วเหลือเศษ $3$

ซึ่ง $x \in A$

[STEP]หาจำนวน $x$ ที่เป็นไปได้[/STEP]

เราจะหาจำนวนเต็มจาก $1$ ถึง $155$ ที่หารด้วย $4$ แล้วเหลือเศษ $3$ ซึ่งได้แก่ $$3, 7, 11, ... , 155$$

เป็นลำดับเลขคณิต หาจำนวนพจน์จะได้

\begin{eqnarray*}
a_n &=& a_1 + (n-1)d\\
155 &=& 3 + (n-1)(4)\\
\cancelto{38}{152} &=& (n-1)(\cancel{4})\\
39 &=& n
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $x$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดมี $39$ จำนวน

[ANS]$39$[/ANS]

ตรงสมการ $i^{2x - 5} = i^{x - 2}$

เราไม่สามารถจับเลขชี้กำลังมาเท่ากันเป็น $2x-5 = x-2$ ได้ เพราะ $i$ เมื่อยกกำลังแล้วจะมีค่าวนไปเรื่อยๆ เป็น $i, -1, -i, 1$ ตามลำดับ ต้องระวังด้วยนะครับ

ความรู้ที่ใช้ : การบวกลบและการคูณจำนวนเชิงซ้อน สังยุคและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน พื้นฐานจำนวนเชิงซ้อน