ถ้า $\displaystyle f(x) = \sum_{k=1}^{100} k \cdot x^{2k-1}$ แล้ว ค่าของ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} f(\sqrt{2})$ เท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณา $f(x)$[/STEP]

เราลองกระจายผลบวก $f(x)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f(x) &=& 1 \cdot x^{2(1) - 1} + 2 \cdot x^{2(2) - 1} + 3 \cdot x^{2(3) - 1} + 4 \cdot x^{2(4) - 1} + ... + 100 \cdot x^{2(100) - 1}\\
&=& 1 \cdot x^{1} + 2 \cdot x^{3} + 3 \cdot x^{5} + 4 \cdot x^{7} + ... + 100 \cdot x^{199}
\end{eqnarray*}

[STEP]แทนค่า $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} f(\sqrt{2})$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\sqrt{2}} f(\sqrt{2}) &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \left[1 \cdot (\sqrt{2})^{1} + 2 \cdot (\sqrt{2})^{3} + 3 \cdot (\sqrt{2})^{5} + 4 \cdot (\sqrt{2})^{7} + ... + 100 \cdot (\sqrt{2})^{199} \right]
\end{eqnarray*}

กระจาย $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ เข้าไป

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\sqrt{2}} f(\sqrt{2}) &=& 1 \cdot \frac{(\sqrt{2})^{1}}{\sqrt{2}} + 2 \cdot \frac{(\sqrt{2})^{3}}{\sqrt{2}} + 3 \cdot \frac{(\sqrt{2})^{5}}{\sqrt{2}} + 4 \cdot \frac{(\sqrt{2})^{7}}{\sqrt{2}} + ... + 100 \cdot \frac{(\sqrt{2})^{199}}{\sqrt{2}}\\
&=& 1 + 2 \cdot (\sqrt{2})^{2} + 3 \cdot (\sqrt{2})^{4} + 4 \cdot (\sqrt{2})^{6} + ... + 100 \cdot (\sqrt{2})^{198}\\
&=& 1 \cdot 2^0 + 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + ... + 100 \cdot 2^{99}
\end{eqnarray*}

เพื่อความสะดวก เรากำหนดให้ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} f(\sqrt{2}) = S$ หรือว่า

\begin{eqnarray*}
S &=& 1 \cdot 2^0 + 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + ... + 100 \cdot 2^{99}
\end{eqnarray*}

[STEP]หาผลรวม[/STEP]

จะเห็นว่า $S$ อยู่ในรูป อนุกรมเลขคณิต $\cdot$ อนุกรมเรขาคณิต

ซึ่งอนุกรมเรขาคณิตมีอัตราส่วนร่วมเป็น $2$ เราจึงคูณ $2$ เข้าไป จะได้

\begin{eqnarray*}
2S &=& 2 \left( 1 \cdot 2^0 + 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + ... + 100 \cdot 2^{99} \right)\\
2S &=& 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + 4 \cdot 2^4 + ... + 100 \cdot 2^{100}
\end{eqnarray*}

เรานำ $S - 2S$ จะได้

\begin{eqnarray*}
S - 2S &=& \left( 1 \cdot 2^0 + 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + ... + 100 \cdot 2^{99} \right ) - \left ( 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + 4 \cdot 2^4 + ... + 100 \cdot 2^{100} \right )\\
-S &=& 1 \cdot 2^0 + (2 \cdot 2^1 - 1 \cdot 2^1) + (3 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2^2) + (4 \cdot 2^3 - 3 \cdot 2^3) + ... + (100 \cdot 2^{99} - 99 \cdot 2^{99}) - 100 \cdot 2^{100}\\
&=& (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{99}) - 100 \cdot 2^{100}
\end{eqnarray*}

ซึ่ง $2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{99}$ เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี $a_1 = 1, r = 2$ และ $n = 100$

ใช้สูตร $\displaystyle S_n = \frac{a_1 (1 - r^n)}{1-r}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
-S &=& \frac{(1)(1 - 2^{100})}{1 - 2} - 100 \cdot 2^{100}\\
-S &=& 2^{100} - 1 - 100 \cdot 2^{100}\\
-S &=& -1 - 99 \cdot 2^{100}\\
S &=& 1 + 99 \cdot 2^{100}
\end{eqnarray*}

ซึ่ง $$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} f(\sqrt{2}) = S = 1 + 99 \cdot 2^{100}$$

[ANS]$1 + 99 \cdot 2^{100}$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : เลขยกกำลัง-สมบัติและการจัดรูป ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต เทคนิคการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ในรูป เลขคณิต/เรขาคณิต