,

เนื่องจาก $G(x)$ ต่อเนื่องที่ $x = -1$ แสดงว่า

$$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow -1^{-}} (x+5) &=& \lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x)\\ -1 + 5 &=& f(-1)\\ 4 &=& f(-1) \end{eqnarray*}$$

,

จาก $f'(x) = 3x^2 - 6x$

ให้ $c$ เป็นค่าวิกฤตของ $f$ แสดงว่า

$$\begin{eqnarray*} f'(c) &=& 0\\ 3c^2 - 6c &=& 0\\ c^2 - 2c &=& 0\\ c(c-2) &=& 0 \end{eqnarray*}$$

เราได้ว่า $c_1 = 0$ และ $c_2 = 2$ คือค่าวิกฤตของ $f$

,

ตรวจสอบค่าวิกฤตโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่สอง $$f''(x) = 6x - 6$$

ตรวจสอบ $c_1 = 0$

$$\begin{eqnarray*} f''(0) &=& 6(0) - 6\\ &=& -6 \end{eqnarray*}$$

ซึ่งน้อยกว่า $0$ นั่นคือ $c_1 = 0$ เป็นค่าวิกฤตที่ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์

ตรวจสอบ $c_2 = 2$

$$\begin{eqnarray*} f''(2) &=& 6(2) - 6\\ &=& 6 \end{eqnarray*}$$

ซึ่งมากกว่า $0$ นั่นคือ $c_2 = 2$ เป็นค่าวิกฤตที่ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

,

ค่าวิกฤต $c_2 = 2$ ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ แสดงว่าค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ $f(2)$

เราต้องหา $f(x)$ โดยอินทิเกรต $f'(x)$

$$\begin{eqnarray*} \int f'(x) dx &=& \int (3x^2 - 6x) dx\\ f(x) &=& \frac{3x^3}{3} - \frac{6x^2}{2} + c\\ &=& x^3 - 3x^2 + c \end{eqnarray*}$$

จากขั้นตอนแรกเราทราบว่า $f(-1) = 4$ ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} f(-1) &=& (-1)^3 - 3(-1)^2 + c\\ 4 &=& -1 - 3 + c\\ 4 &=& -4 + c\\ 8 &=& c \end{eqnarray*}$$

เราจึงได้ $f(x) = x^3 - 3x^2 + 8$

,

ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ

$$\begin{eqnarray*} f(2) &=& 2^3 - 3(2^2) + 8\\ &=& 8 - 12 + 8\\ &=& 4 \end{eqnarray*}$$