กำหนดให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันพหุนาม ซึ่ง $f'(x) = 3x^2 - 6x$

และ $\displaystyle G(x) = \begin{cases} x+5 &\text{เมื่อ}& x \leq -1\\ f(x) &\text{เมื่อ}& x > -1 \end{cases}$

ถ้า $G(x)$ ต่อเนื่องที่ $x = -1$ แล้ว $f$ มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาฟังก์ชัน $G$[/STEP]

เนื่องจาก $G(x)$ ต่อเนื่องที่ $x = -1$ แสดงว่า

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow -1^{-}} (x+5) &=& \lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x)\\
-1 + 5 &=& f(-1)\\
4 &=& f(-1)
\end{eqnarray*}

[STEP]หาค่าวิกฤตของฟังก์ชัน $f$[/STEP]

จาก $f'(x) = 3x^2 - 6x$

ให้ $c$ เป็นค่าวิกฤตของ $f$ แสดงว่า

\begin{eqnarray*}
f'(c) &=& 0\\
3c^2 - 6c &=& 0\\
c^2 - 2c &=& 0\\
c(c-2) &=& 0
\end{eqnarray*}

เราได้ว่า $c_1 = 0$ และ $c_2 = 2$ คือค่าวิกฤตของ $f$

[STEP]ตรวจสอบค่าวิกฤต[/STEP]

ตรวจสอบค่าวิกฤตโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่สอง $$f''(x) = 6x - 6$$

ตรวจสอบ $c_1 = 0$

\begin{eqnarray*}
f''(0) &=& 6(0) - 6\\
&=& -6
\end{eqnarray*}

ซึ่งน้อยกว่า $0$ นั่นคือ $c_1 = 0$ เป็นค่าวิกฤตที่ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์

ตรวจสอบ $c_2 = 2$

\begin{eqnarray*}
f''(2) &=& 6(2) - 6\\
&=& 6
\end{eqnarray*}

ซึ่งมากกว่า $0$ นั่นคือ $c_2 = 2$ เป็นค่าวิกฤตที่ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

[STEP]อินทิเกรตเพื่อหา $f(x)$[/STEP]

ค่าวิกฤต $c_2 = 2$ ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ แสดงว่าค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ $f(2)$

เราต้องหา $f(x)$ โดยอินทิเกรต $f'(x)$

\begin{eqnarray*}
\int f'(x) dx &=& \int (3x^2 - 6x) dx\\
f(x) &=& \frac{3x^3}{3} - \frac{6x^2}{2} + c\\
&=& x^3 - 3x^2 + c
\end{eqnarray*}

จากขั้นตอนแรกเราทราบว่า $f(-1) = 4$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
f(-1) &=& (-1)^3 - 3(-1)^2 + c\\
4 &=& -1 - 3 + c\\
4 &=& -4 + c\\
8 &=& c
\end{eqnarray*}

เราจึงได้ $f(x) = x^3 - 3x^2 + 8$

[STEP]หาค่าต่ำสุดสัมพัทธ์[/STEP]

ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ

\begin{eqnarray*}
f(2) &=& 2^3 - 3(2^2) + 8\\
&=& 8 - 12 + 8\\
&=& 4
\end{eqnarray*}

[ANS]$4$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การหาค่าคงตัวจากการอินทิเกรต สูตรอนุพันธ์พื้นฐาน ค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ สูตรการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน