,

ลำดับ $\displaystyle a_n = \int_n^{\frac{n(n+2)}{2}} \frac{1}{x^2} dx$

$$\begin{eqnarray*} \int_n^{\frac{n(n+2)}{2}} \frac{1}{x^2} dx &=& \int_n^{\frac{n(n+2)}{2}} x^{-2} dx\\ &=& \left[ \frac{x^{-1}}{-1} \right]_n^{\frac{n(n+2)}{2}}\\ &=& \left[ -\frac{1}{x} \right]_n^{\frac{n(n+2)}{2}} \end{eqnarray*}$$

แทนค่า

$$\begin{eqnarray*} \left[ -\frac{1}{x} \right]_n^{\frac{n(n+2)}{2}} &=& -\frac{1}{\frac{n(n+2)}{2}} - \left ( -\frac{1}{n} \right)\\ &=& -\frac{2}{n(n+2)} + \frac{1}{n}\\ &=& -\frac{2}{n(n+2)} + \frac{1}{n} \cdot \frac{n+2}{n+2}\\ &=& \frac{-2 + n + 2}{n(n+2)} \end{eqnarray*}$$

เราจึงได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} \int_n^{\frac{n(n+2)}{2}} \frac{1}{x^2} dx &=& \frac{n}{n(n+2)}\\ &=& \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$$

ลำดับจึงเป็น $$\displaystyle a_n = \frac{1}{n+2}$$

,

ต้องการหาผลบวกอนันต์

$$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n} &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)}\\ &=& \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{4 \times 6} + ... \end{eqnarray*}$$

จะเป็นว่าเป็นอนุกรมเทเลสโคปิกที่มีระยะห่างของตัวส่วนคือ $2$ เราจึงคูณด้วย $\dfrac22$ เข้าไป

$$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n} &=& \frac22 \left( \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{4 \times 6} + ... \right)\\ &=& \frac12 \left( \frac{2}{1 \times 3} + \frac{2}{2 \times 4} + \frac{2}{3 \times 5} + \frac{2}{4 \times 6} + ... \right)\\ &=& \frac12 \left( \frac11 - \frac13 + \frac12 - \frac14 + \frac13 - \frac15 + \frac14 - \frac16 + ... \right) \end{eqnarray*}$$

ซึ่งแต่ละพจน์จะตัดกันดังนี้

$$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n} &=& \frac12 \left( \frac11 - \cancel{\frac13} + \frac12 - \cancel{\frac14} + \cancel{\frac13} - \cancel{\frac15} + \cancel{\frac14} - \cancel{\frac16} + ... \right)\\ &=& \frac12 \left( 1 + \frac12 \right)\\ &=& \frac12 \times \frac32\\ &=& \frac34 \end{eqnarray*}$$