ให้ $x_1 , x_2 , x_3 , ... , x_{11}$ เป็นข้อมูล $11$ จำนวน ซึ่งเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต

ถ้าผลคูณ $\displaystyle x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot ... \cdot x_{11} = 2^{33} \cdot 3^{22}$ แล้ว ข้อใดคือมัธยฐานของข้อมูลชุดนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาลำดับเรขาคณิตทั้ง $11$ พจน์[/STEP]

จากลำดับเรขาคณิต $x_1 , x_2 , x_3 , ... , x_{11}$

$x_6$ คือพจน์กลางสุด เราสามารถเขียนพจน์อื่นๆ ในรูปของ $x_6$ และ $r$ เมื่อ $r$ เป็นอัตราส่วนร่วม ได้ดังนี้

$$\displaystyle \frac{x_6}{r^5} , \frac{x_6}{r^4} , \frac{x_6}{r^3} , \frac{x_6}{r^2} , \frac{x_6}{r} , x_6 , x_6 r , x_6 r^2 , x_6 r^3 , x_6 r^4 , x_6 r^5$$

[STEP]จัดรูปผลคูณที่โจทย์กำหนดให้[/STEP]

จาก $$\displaystyle x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot ... \cdot x_{11} = 2^{33} \cdot 3^{22}$$

เราเขียนทุกพจน์ให้อยู่ในรูป $x_6$ และ $r$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{x_6}{r^5} \cdot \frac{x_6}{r^4} \cdot \frac{x_6}{r^3} \cdot \frac{x_6}{r^2} \cdot \frac{x_6}{r} \cdot x_6 \cdot x_6 r \cdot x_6 r^2 \cdot x_6 r^3 \cdot x_6 r^4 \cdot x_6 r^5 &=& 2^{33} \cdot 3^{22}\\
\frac{x_6}{\cancel{r^5}} \cdot \frac{x_6}{\cancel{r^4}} \cdot \frac{x_6}{\cancel{r^3}} \cdot \frac{x_6}{\cancel{r^2}} \cdot \frac{x_6}{\cancel{r}} \cdot x_6 \cdot x_6 \cancel{r} \cdot x_6 \cancel{r^2} \cdot x_6 \cancel{r^3} \cdot x_6 \cancel{r^4} \cdot x_6 \cancel{r^5} &=& 2^{33} \cdot 3^{22}\\
(x_6) ^{11} &=& 2^{33} \cdot 3^{22}
\end{eqnarray*}

[STEP]จัดรูปผลคูณทางขวามือให้มีเลขชี้กำลังเป็น $11$[/STEP]

เราจัดรูป

\begin{eqnarray*}
2^{33} \cdot 3^{22} &=& (2^3)^{11} \cdot (3^2)^{11}\\
&=& 8^{11} \cdot 9^{11}\\
&=& 72^{11}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
(x_6)^{11} &=& 72^{11}\\
x_6 &=& 72
\end{eqnarray*}

ซึ่งมัธยฐานก็คือ $x_6 = 72$ นั่นเอง

[ANS]$72$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : เลขยกกำลัง-สมบัติและการจัดรูป ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต มัธยฐาน