คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ถ้าผลต่างของคะแนนเปอร์เซ็นไทล์ที่ $67$ และเปอร์เซ็นไทล์ที่ $33$ เท่ากับ $11$ คะแนน แล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือข้อใด

กำหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ดังนี้

$z$ $0.17$ $0.33$ $0.44$ $0.67$
พื้นที่ใต้เส้นโค้ง $0.066$ $0.13$ $0.17$ $0.25$

 

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาพื้นที่ใต้เส้นโค้งของเปอร์เซ็นไทล์ที่ $33$ และ $67$[/STEP]

$P_{33}$ หมายความว่าพื้นที่ใต้เส้นโค้งจาก $P_0$ ถึง $P_{33}$ เท่ากับ $0.33$ และ

$P_{67}$ หมายความว่าพื้นที่ใต้เส้นโค้งจาก $P_0$ ถึง $P_{67}$ เท่ากับ $0.67$ ดังรูป

แต่เราต้องการพื้นที่ที่วัดจาก $z = 0$ ไปยัง $P_{33}$ และ $P_{67}$ เพื่อดูตาราง

ซึ่งพื้นที่ใต้เส้นโค้งจาก $P_0$ ถึง $z = 0$ (ครึ่งหนึ่ง) เท่ากับ $0.5$

เราจึงได้พื้นที่จาก $z = 0$ ถึง $P_{33}$ (สีเขียว) เท่ากับ $$0.5 - 0.33 = 0.17$$

และเราได้พื้นที่จาก $z = 0$ ถึง $P_{67}$ (สีน้ำตาล) เท่ากับ $$0.67 - 0.5 = 0.17$$

[STEP]ดูตารางพื้นที่ใต้โค้งปกติ แล้วเปลี่ยนเปอร์เซ็นไทล์เป็น $z$[/STEP]

จากตารางพื้นที่ใต้โค้งปกติจะเห็นว่า พื้นที่ $0.17$ เทียบได้กับ $z = 0.44$

พื้นที่จาก $z = 0$ ถึง $P_{33}$ เท่ากับ $0.17$ แต่อยู่ทางซ้าย จึงเทียบได้กับ $z = -0.44$

พื้นที่จาก $z = 0$ ถึง $P_{67}$ เท่ากับ $0.17$ แต่อยู่ทางขวา จึงเทียบได้กับ $z = 0.44$

[STEP]แทนเข้าสูตร $z$ แล้วทำเป็นระบบสมการ[/STEP]

จากสูตร $$\displaystyle z = \frac{x - \overline{x}}{S.D.}$$

เราได้ว่า $P_{33}$ คือ $z = -0.44$ นั่นคือ $$\displaystyle -0.44 = \frac{P_{33} - \overline{x}}{S.D.} ---- (1)$$

เราได้ว่า $P_{67}$ คือ $z = 0.44$ นั่นคือ $$\displaystyle 0.44 = \frac{P_{67} - \overline{x}}{S.D.} ---- (2)$$

นำสมการ $(2) - (1)$

\begin{eqnarray*}
0.44 - (-0.44) &=& \frac{P_{67} - \overline{x}}{S.D.} - \frac{P_{33} - \overline{x}}{S.D.}\\
0.88 &=& \frac{(P_{67} - P_{33}) - \overline{x} + \overline{x}}{S.D.}\\
0.88 &=& \frac{(P_{67} - P_{33}) - \cancel{\overline{x}} + \cancel{\overline{x}}}{S.D.}\\
0.88 &=& \frac{P_{67} - P_{33}}{S.D.}
\end{eqnarray*}

แต่โจทย์บอกว่าคะแนน $P_{67}$ และ $P_{33}$ ต่างกันอยู่ $11$ คะแนน

แสดงว่า $P_{67} - P_{33} = 11$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
0.88 &=& \frac{11}{S.D.}\\
S.D. &=& \frac{11}{0.88}\\
&=& \frac{1}{0.08}\\
&=& 12.5
\end{eqnarray*}

[ANS]$12.5$[/ANS]

ห้ามสับสนการใช้ตารางพื้นที่ใต้โค้งปกตินะครับ ต้องวัดพื้นที่จาก $z=0$ (ตรงกลาง) ไปยังคะแนนที่เราต้องการเสมอ และระวังเครื่องหมายของ $z$ ด้วย ถ้าอยู่ทางซ้ายมือของกราฟจะติดลบ อยู่ทางขวามือก็เป็นบวกครับ

ความรู้ที่ใช้ : ค่ามาตรฐาน