กำหนดจำนวนเต็ม $9$ จำนวน คือ $-7, -5, -3, -1, 0, 2, 4, 6, 10$ ถ้าสุ่มจำนวนเหล่านี้ขึ้นมา $4$ จำนวน แล้ว ความน่าจะเป็นที่ผลคูณของทั้ง $4$ จำนวนนี้ไม่เป็นจำนวนลบ เท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หาจำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซ[/STEP]

แซมเปิลสเปซคือการสุ่มจำนวน $4$ จำนวน จากทั้งหมด $9$ จำนวน จึงได้ว่า

\begin{eqnarray*}
n(S) &=& \left ( \begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix} \right )\\
&=& \frac{9!}{4!5!}\\
&=& \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times \cancel{5!}}{24 \times \cancel{5!}}\\
&=& 126
\end{eqnarray*}

[STEP]หาจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์[/STEP]

เราต้องการสุ่ม $4$ จำนวน ให้ผลคูณของทั้ง $4$ จำนวน ไม่เป็นจำนวนลบ จึงมีกรณีต่างๆ ดังนี้

กรณีที่ 1 ทั้ง $4$ จำนวน เป็นบวกทั้งหมด

จำนวนบวกได้แก่ $2, 4, 6, 10$ มี $4$ จำนวน จึงเลือกได้

\begin{eqnarray*}
\left ( \begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix} \right ) &=& 1 \; \text{วิธี}
\end{eqnarray*}

กรณีที่ 2 ทั้ง $4$ จำนวน เป็นลบทั้งหมด\

จำนวนลบได้แก่ $-7, -5, -3, -1$ มี $4$ จำนวน จึงเลือกได้

\begin{eqnarray*}
\left ( \begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix} \right ) &=& 1 \; \text{วิธี}
\end{eqnarray*}

กรณีที่ 3 เป็นบวก $2$ จำนวน และเป็นลบ $2$ จำนวน

เรามีจำนวนบวก $4$ จำนวน และลบ $4$ จำนวน จึงเลือกได้

\begin{eqnarray*}
\left ( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right )\left ( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right ) &=& 6 \times 6 &=& 36 \; \text{วิธี}
\end{eqnarray*}

กรณีที่ 4 ใน $4$ จำนวน เป็น $0$ หนึ่งจำนวน และที่เหลืออีก $3$ จำนวน เป็นอะไรก็ได้

เลือกอีก $3$ จำนวน จาก $-7, -5, -3, -1, 2, 4, 6, 10$ จึงเลือกได้

\begin{eqnarray*}
\left ( \begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix} \right ) &=& 56 \; \text{วิธี}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $$n(E) = 1 + 1 + 36 + 56 = 94$$

[STEP]หาความน่าจะเป็น[/STEP]

จาก $n(E) = 94$ และ $n(S) = 126$ จะได้

\begin{eqnarray*}
P(E) &=& \frac{n(E)}{n(S)}\\
&=& \frac{94}{126}\\
&=& \frac{47}{63}
\end{eqnarray*}

[ANS]$\dfrac{47}{63}$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การเลือกและการจัดกลุ่ม การนับแบบแยกกรณี ความน่าจะเป็น