กำหนดความสูง (เซนติเมตร) ของเด็กกลุ่มหนึ่ง จำนวน $9$ คน ดังนี้

$$152, 153, 155, 158, 159, 160, 162, 166, 175$$

ถ้าสุ่มเลือกเด็กกลุ่มนี้มา $3$ คน ความน่าจะเป็นที่เด็กทั้งสามคนเตี้ยกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความสูงของเด็กกลุ่มนี้ เท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความสูง[/STEP]

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความสูงนักเรียนทั้ง $9$ คน เท่ากับ

\begin{eqnarray*}
\overline{x} &=& \frac{152+153+155+158+159+160+162+166+175}{9}\\
&=& \frac{1,440}{9}\\
&=& 160
\end{eqnarray*}

[STEP]หาความน่าจะเป็น[/STEP]

ค่าเฉลี่ยของความสูงเป็น $160$ ซม. แสดงว่ามีนักเรียน $5$ คน ที่เตี้ยกว่าค่าเฉลี่ย

สุ่มเลือกมา $3$ คน จึงได้

\begin{eqnarray*}
n(E) &=& \left( \begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix} \right)\\
&=& \frac{5!}{3!2!}
\end{eqnarray*}

และหาจำนวนสมาชิกของแซมเปิลเสปซ นักเรียนทั้งหมด $9$ คน เลือก $3$ คน ได้เป็น

\begin{eqnarray*}
n(S) &=& \left( \begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix} \right)\\
&=& \frac{9!}{3!6!}
\end{eqnarray*}

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เท่ากับ

\begin{eqnarray*}
P(E) &=& \frac{n(E)}{n(S)}\\
&=& \frac{\frac{5!}{3!2!}}{\frac{9!}{3!6!}}\\
&=& \frac{\frac{5!}{\cancel{3!}2!}}{\frac{9!}{\cancel{3!}6!}}\\
&=& \frac{\frac{5!}{2!}}{\frac{9!}{6!}}
\end{eqnarray*}

เราแยก $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2!$ และ $9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6!$ จะได้

\begin{eqnarray*}
P(E) &=& \frac{\frac{5 \times 4 \times 3 \times \cancel{2!}}{\cancel{2!}}}{\frac{9 \times 8 \times 7 \times \cancel{6!}}{\cancel{6!}}}\\
&=& \frac{5 \times \cancel{4} \times \cancel{3}}{\cancelto{3}{9} \times \cancelto{2}{8} \times 7}\\
&=& \frac{5}{3 \times 2 \times 7}\\
&=& \frac{5}{42}
\end{eqnarray*}

[ANS]$\dfrac{5}{42}$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ค่าเฉลี่ยเลขคณิต การเลือกและการจัดกลุ่ม ความน่าจะเป็น