กำหนดให้ $P(x) = ax^5+ bx^3+ cx +d$ ถ้า $x-1$ หาร $P(x)$ เหลือเศษ $10$ และ $x$ หาร $P(x)$ เหลือเศษ $6$ แล้ว $x+1$ หาร $P(x)$ เหลือเศษเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาทฤษฎีเศษเหลือ[/STEP]

จาก $x - 1$ หาร $P(x)$ เหลือเศษ $10$ จะได้

\begin{eqnarray*}
P(1) &=& 10 &&\\
a+b+c+d &=& 10 &----& (1)
\end{eqnarray*}

จาก $x$ หาร $P(x)$ เหลือเศษ $6$ จะได้

\begin{eqnarray*}
P(0) &=& 6\\
0+0+0+d &=& 6\\
d &=& 6
\end{eqnarray*}

แทนค่าในสมการ $(1)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a+b+c+6 &=& 10\\
a+b+c &=& 4
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาการหาร $P(x)$ ด้วย $x+1$[/STEP]

ถ้าหาร $P(x)$ ด้วย $x+1$ จะได้เศษเหลือเท่ากับ

\begin{eqnarray*}
P(-1) &=& a(-1)^5 + b (-1)^3 + c (-1) + d\\
&=& -a - b - c + d\\
&=& -(a+b+c) + d
\end{eqnarray*}

เราทราบว่า $a+b+c = 4$ และ $d = 6$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
P(-1) &=& -4 + 6\\
&=& 2
\end{eqnarray*}

[ANS]$2$[/ANS]

การหาเศษจากการนำ $x$ ไปหาร $P(x)$ นั้น สังเกตง่ายๆ ว่า $x$ ก็คือ $x - 0$ นั่นเอง เราจึงได้เศษเท่ากับ $P(0)$

ความรู้ที่ใช้ : ทฤษฎีเศษเหลือ