กำหนดให้ $\displaystyle S = \left\{ x \mid 0 < x < 2 \pi \;\text{และ}\; 125 \left(5^{4\cos 2x}\right) = 4 \left(5^{4 \cos^2 x} \right) + 25 \right\}$

แล้ว $S$ เป็นสับเซตของข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปสมการให้อยู่ในรูปสมการพหุนามกำลังสอง[/STEP]

จากสมการ $$\displaystyle 125 \left(5^{4\cos 2x}\right) = 4 \left(5^{4 \cos^2 x} \right) + 25$$

ใช้เอกลักษณ์ $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ จัดรูปพจน์แรก จะได้เป็น

\begin{eqnarray*}
125 \left(5^{4\cos 2x}\right) &=& 125 \left(5^{4(2 \cos^2 x - 1)}\right)\\
&=& 125 \left(5^{8 \cos^2 x - 4}\right)\\
&=& 5^3 \left( \frac{5^{8 \cos^2 x}}{5^4} \right)\\
&=& \frac{5^{8 \cos^2 x}}{5}
\end{eqnarray*}

เราจึงได้สมการเป็น $$\displaystyle \frac{5^{8 \cos^2 x}}{5} = 4 \left(5^{4 \cos^2 x} \right) + 25$$

คูณ $5$ ตลอดทั้งสมการ จะได้ $$\displaystyle 5^{8 \cos^2 x} = 20 \left(5^{4 \cos^2 x} \right) + 125$$

จัดรูป $\displaystyle 5^{8 \cos^2 x} = \left( 5^{4 \cos^2 x} \right)^2$ จะได้

$$\displaystyle \left( 5^{4 \cos^2 x} \right)^2 = 20 \left(5^{4 \cos^2 x} \right) + 125$$

[STEP]แทนสัญลักษณ์[/STEP]

เรากำหนดให้ $A = 5^{4 \cos^2 x}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
A^2 &=& 20A + 125\\
A^2 - 20A - 125 &=& 0\\
(A+5)(A-25) &=& 0\\
A &=& -5, 25
\end{eqnarray*}

[STEP]แทนค่ากลับใน $A$[/STEP]

ถ้า $A = -5$ จะได้ $$\displaystyle 5^{4 \cos^2 x} = -5$$

ซึ่งเป็นไปไม่ได้ จึงไม่มีคำตอบในกรณีนี้

ถ้า $A = 25$ จะได้

\begin{eqnarray*}
5^{4 \cos^2 x} &=& 25\\
4 \cos^2 x &=& 2\\
\cos^2 x &=& \frac24\\
\cos^2 x &=& \frac12
\end{eqnarray*}

ถอดรากที่สอง จะได้ $$\displaystyle \cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$

[STEP]หาค่า $x$[/STEP]

โจทย์กำหนดให้ $0 < x < 2 \pi$

ถ้า $\displaystyle \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ จะได้ $$\displaystyle x = \frac{\pi}{4} , \frac{7 \pi}{4}$$

ถ้า $\displaystyle \cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ จะได้ $$\displaystyle x = \frac{3 \pi}{4} , \frac{5 \pi}{4}$$

ดังนั้น $$\displaystyle S = \left\{ \frac{\pi}{4} , \frac{3 \pi}{4} , \frac{5 \pi}{4} , \frac{7 \pi}{4} \right\}$$

ซึ่งเป็นสับเซตของ $\displaystyle \left\{ \frac{\pi}{4} , \frac{2\pi}{4} , \frac{3 \pi}{4} , \frac{5\pi}{4} , \frac{6\pi}{4} , \frac{7\pi}{4} \right\}$ นั่นเอง

[ANS]$\displaystyle \left\{ \frac{\pi}{4} , \frac{2\pi}{4} , \frac{3 \pi}{4} , \frac{5\pi}{4} , \frac{6\pi}{4} , \frac{7\pi}{4} \right\}$[/ANS]

ข้อนี้ค่อนข้างเสียเวลาเพราะต้องใช้ทั้งสูตรมุมสองเท่าของตรีโกณ แล้วไปจัดรูป แทนตัวแปร $A$ เพื่อแก้สมการ แล้วมาหาค่า $x$ จาก $\cos x$ อีก ถ้าเจอโจทย์แนวๆ นี้แนะนำให้เก็บไว้ทำทีหลังครับ

ความรู้ที่ใช้ : สูตรมุมสองเท่า เลขยกกำลัง-สมบัติและการจัดรูป การแก้สมการตรีโกณมิติ สับเซตและเพาเวอร์เซต ตรีโกณมิติในวงกลมหนึ่งหน่วย