,

จากสมการ $$\displaystyle 125 \left(5^{4\cos 2x}\right) = 4 \left(5^{4 \cos^2 x} \right) + 25$$

ใช้เอกลักษณ์ $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ จัดรูปพจน์แรก จะได้เป็น

$$\begin{eqnarray*} 125 \left(5^{4\cos 2x}\right) &=& 125 \left(5^{4(2 \cos^2 x - 1)}\right)\\ &=& 125 \left(5^{8 \cos^2 x - 4}\right)\\ &=& 5^3 \left( \frac{5^{8 \cos^2 x}}{5^4} \right)\\ &=& \frac{5^{8 \cos^2 x}}{5} \end{eqnarray*}$$

เราจึงได้สมการเป็น  $$\displaystyle \frac{5^{8 \cos^2 x}}{5} = 4 \left(5^{4 \cos^2 x} \right) + 25$$

คูณ $5$ ตลอดทั้งสมการ จะได้  $$\displaystyle 5^{8 \cos^2 x} = 20 \left(5^{4 \cos^2 x} \right) + 125$$

จัดรูป $\displaystyle 5^{8 \cos^2 x} = \left( 5^{4 \cos^2 x} \right)^2$ จะได้

$$\displaystyle \left( 5^{4 \cos^2 x} \right)^2 = 20 \left(5^{4 \cos^2 x} \right) + 125$$

,

เรากำหนดให้ $A = 5^{4 \cos^2 x}$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} A^2 &=& 20A + 125\\ A^2 - 20A - 125 &=& 0\\ (A+5)(A-25) &=& 0\\ A &=& -5, 25 \end{eqnarray*}$$

,

ถ้า $A = -5$ จะได้ $$\displaystyle 5^{4 \cos^2 x} = -5$$

ซึ่งเป็นไปไม่ได้ จึงไม่มีคำตอบในกรณีนี้

ถ้า $A = 25$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} 5^{4 \cos^2 x} &=& 25\\ 4 \cos^2 x &=& 2\\ \cos^2 x &=& \frac24\\ \cos^2 x &=& \frac12 \end{eqnarray*}$$

ถอดรากที่สอง จะได้  $$\displaystyle \cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$

,

โจทย์กำหนดให้ $0 < x < 2 \pi$

ถ้า $\displaystyle \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ จะได้ $$\displaystyle x = \frac{\pi}{4} , \frac{7 \pi}{4}$$

ถ้า $\displaystyle \cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ จะได้ $$\displaystyle x = \frac{3 \pi}{4} , \frac{5 \pi}{4}$$

ดังนั้น $$\displaystyle S = \left\{ \frac{\pi}{4} , \frac{3 \pi}{4} , \frac{5 \pi}{4} , \frac{7 \pi}{4} \right\}$$

ซึ่งเป็นสับเซตของ $\displaystyle \left\{ \frac{\pi}{4} , \frac{2\pi}{4} , \frac{3 \pi}{4} , \frac{5\pi}{4} , \frac{6\pi}{4} , \frac{7\pi}{4} \right\}$ นั่นเอง