กำหนดให้ $A$ เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ $3 \times 3$ ซึ่ง $[A : I] \text{~} [I : P]$

โดยที่ $I$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ มิติ $3 \times 3$ และ $P = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{matrix} \right]$

ถ้า $\displaystyle A \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$ แล้ว $a$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างเมทริกซ์ $A$ และ $P$[/STEP]

จาก $$[A : I] \text{~} [I : P]$$

หมายความว่า $P$ เป็นอินเวอร์สเมทริกซ์ของ $A$ หรือ $$P = A^{-1}$$

เราจะใช้ $P$ ในการแก้สมการเมทริกซ์

[STEP]แก้สมการเมทริกซ์[/STEP]

จาก $$\displaystyle A \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$$

คูณเมทริกซ์ $P$ เข้าไปทั้งสองข้าง

$$\displaystyle P A \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = P \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$$

ซึ่ง $P = A^{-1}$ แสดงว่า $PA = I$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
P A \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} &=& P \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}\\
I \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} &=& P \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} &=& P \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}
\end{eqnarray*}

[STEP]หาผลคูณเมทริกซ์ทางขวามือ[/STEP]

\begin{eqnarray*}
P \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} &=& \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{matrix} \right] \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}\\
&=& \begin{bmatrix} a + 2b + 0 \\ 0 - b + 2c \\ a + 0 - c \end{bmatrix}\\
&=& \begin{bmatrix} a + 2b \\ - b + 2c \\ a - c \end{bmatrix}
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้ระบบสมการเพื่อหาค่า $a$[/STEP]

จากผลคูณของเมทริกซ์ เราจึงได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} a + 2b \\ - b + 2c \\ a - c \end{bmatrix}
\end{eqnarray*}

กลายเป็นระบบสมการดังนี้

\begin{eqnarray*}
a + 2b &=& 1 &----& (1)\\
-b + 2c &=& 2 &----& (2)\\
a - c &=& 3 &----& (3)
\end{eqnarray*}

จัดรูปสมการที่ $(3)$

\begin{eqnarray*}
a - c &=& 3\\
a - 3 &=& c
\end{eqnarray*}

แทนค่า $c$ ในสมการที่ $(2)$

\begin{eqnarray*}
-b + 2c &=& 2\\
-b + 2(a-3) &=& 2\\
-b + 2a - 6 &=& 2\\
2a - b &=& 8
\end{eqnarray*}

คูณ $2$ ตลอดทั้งสมการ เพื่อทำให้ได้ $2b$ ไปหักล้างกับสมการที่ $(1)$

\begin{eqnarray*}
4a - 2b &=& 16 &----& (4)
\end{eqnarray*}

นำสมการ $(1) + (4)$

\begin{eqnarray*}
(a + 2b) + (4a - 2b) &=& 1 + 16\\
a + \cancel{2b} + 4a - \cancel{2b} &=& 1 + 16\\
5a &=& 17\\
a &=& \frac{17}{5}
\end{eqnarray*}

[ANS]$\dfrac{17}{5}$[/ANS]

การแก้ระบบสมการ $3$ ตัวแปร ในข้อนี้ไม่จำเป็นต้องใช้เมทริกซ์ในการแก้ก็ได้ครับ เพราะจะเสียเวลา แต่ละสมการมีแค่ $2$ ตัวแปร อย่าลืมนะครับว่าข้อสอบ $9$ วิชาสามัญ นี่วัดความเร็วด้วยครับ

ความรู้ที่ใช้ : การดำเนินการตามแถว การแก้สมการเมทริกซ์ อินเวอร์สการคูณเมทริกซ์ การบวกลบและการคูณเมทริกซ์