ให้ $s$ เป็นวงกลมที่อยู่ในควอดรันต์ที่ $1$ ซึ่งสัมผัสกับแกน $X$ แกน $Y$ และเส้นตรง $l$ ซึ่งมีสมการเป็น $3x -  4y + 24 = 0$

ถ้า $C$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม $s$ และ $P$ เป็นจุดที่วงกลม $s$ สัมผัสเส้นตรง $l$ แล้ว สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด $C$ และจุด $P$ คือข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]วาดรูปวงกลม $s$ และเส้นตรง $l$[/STEP]

สมมุติให้วงกลม $s$ มีรัศมี $r$ หน่วย เนื่องจากวงกลมสัมผัสแกน $X$ และแกน $Y$ ในควอดรันต์ที่ $1$ จะได้ว่าจุดศูนย์กลางวงกลมมีพิกัด $C(r, r)$ ดังรูป

ก่อนอื่นเราจะต้องหาความยาวรัศมี $r$ ให้ได้

[STEP]หาระยะ $CP$[/STEP]

ระยะ $CP$ คือระยะจากจุด $C(r, r)$ ไปยังเส้นตรง $3x - 4y + 24$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
CP &=& \frac{|3r - 4r + 24|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\
&=& \frac{|-r + 24|}{\sqrt{25}}\\
&=& \frac{|24 - r|}{5}
\end{eqnarray*}

แต่จะเห็นว่า ระยะ $CP$ ก็คือรัศมีของวงกลม $s$ เช่นกัน แสดงว่า

\begin{eqnarray*}
\frac{|24 - r|}{5} &=& r\\
|24 - r| &=& 5r
\end{eqnarray*}

จะได้ $24 - r = 5r$ (เนื่องจากความยาวรัศมีต้องเป็นบวก หรือ $r>0$ ดังนั้น $24 - r = -5r$ จึงใช้ไม่ได้)

\begin{eqnarray*}
24 - r &=& 5r\\
24 &=& 6r\\
4 &=& r
\end{eqnarray*}

[STEP]หาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด $C$ และ $P$[/STEP]

สมมุติให้เส้นตรงที่เราต้องการคือเส้นตรง $l_1$ ดังรูป

จะเห็นว่าเส้นตรง $l_1$ ตั้งฉากกับเส้นตรง $l$

ความชันของเส้นตรง $Ax + By + C = 0$ คือ $- \dfrac{A}{B}$

เราจึงได้ว่าความชันของเส้นตรง $l: 3x - 4y + 24 = 0$ คือ $m_l = -\dfrac{3}{-4} = \dfrac34$

เส้นตรง $l_1$ ตั้งฉากกับเส้นตรง $l$ แสดงว่า

\begin{eqnarray*}
m_{l_1} \cdot m_l &=& -1\\
m_{l_1} \cdot \frac34 &=& -1\\
m_{l_1} &=& -\frac43
\end{eqnarray*}

จะได้สมการ $l_1$ คือ $y = -\dfrac43 x + c$

เส้นตรง $l_1$ ผ่านจุด $(4, 4)$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
4 &=& -\frac{4}{3} (4) + c\\
4 + \frac{16}{3} &=& c\\
\frac{28}{3} &=& c
\end{eqnarray*}

จัดรูปสมการ $l_1$

\begin{eqnarray*}
y &=& -\frac43 x + \frac{28}{3}\\
3y &=& -4x + 28\\
4x + 3y - 28 &=& 0
\end{eqnarray*}

[ANS]$4x + 3y - 28 = 0$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : วงกลม ระยะทางของจุดกับเส้นตรง การสร้างสมการเส้นตรง เส้นตรง