ให้ $\vec{u}, \vec{v}$ และ $\vec{w}$ เป็นเวกเตอร์ใดๆ ในระบบพิกัดฉากสามมิติ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก.  $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$

ข.  $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = \vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w})$

ค.  $(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2$

ง.  $(\vec{u} - \vec{v}) \times (\vec{u} + \vec{v}) = 2 (\vec{u} \times \vec{v})$

ข้อใดคือจำนวนข้อความที่ถูกต้อง

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาข้อ ก[/STEP]

การดอทและครอสมีสามารถสลับคู๋และตำแหน่งการดอทและครอสได้ ตราบใดที่การเรียงลำดับเวกเตอร์ยังคงเรียงกันเป็นวงกลมเหมือนเดิม ดังนี้

ซึ่ง $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ ตรงตามเงื่อนไข

ข้อ ก จึงถูกต้อง

[STEP]พิจารณาข้อ ข[/STEP]

การครอสนั้นมีผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ ซึ่งการสลับกลุ่มครอสกันมีผลต่อทิศทาง ยกตัวอย่างง่ายๆ เช่น

\begin{eqnarray*}
(\vec{u} \times \vec{u}) \times \vec{v} &=& \vec{0} \times \vec{v}\\
&=& \vec{0}
\end{eqnarray*}

แต่พิจารณา

\begin{eqnarray*}
\vec{u} \times (\vec{u} \times \vec{v})
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า $\vec{u} \times \vec{v} \neq \vec{0}$ ดังนั้น $\vec{u} \times (\vec{u} \times \vec{v}) \neq \vec{0}$ เช่นกัน

ดังนั้นการครอสกันจึงไม่สามารถเปลี่ยนกลุ่มได้

ข้อ ข ไม่ถูกต้อง

[STEP]พิจารณาข้อ ค[/STEP]

เราใช้สมบัติการแจกแจงการดอท

\begin{eqnarray*}
(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) &=& \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \vec{v} - \vec{v} \cdot \vec{u} - \vec{v} \cdot \vec{v}
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $\vec{u} \cdot \vec{u} = {|\vec{u}|}^2, \vec{v} \cdot \vec{v} = {|\vec{v}|}^2$ และ $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$

จะได้

\begin{eqnarray*}
(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) &=& {|\vec{u}|}^2 + \cancel{\vec{u} \cdot \vec{v}} - \cancel{\vec{v} \cdot \vec{u}} - {|\vec{v}|}^2\\
&=&  {|\vec{u}|}^2 - {|\vec{v}|}^2
\end{eqnarray*}

ข้อ ค ถูกต้อง

[STEP]พิจารณาข้อ ง[/STEP]

เราใช้สมบัติการแจกแจงการครอส

\begin{eqnarray*}
(\vec{u} - \vec{v}) \times (\vec{u} + \vec{v}) &=& \vec{u} \times \vec{u} + \vec{u} \times \vec{v} - \vec{v} \times \vec{u} - \vec{v} \times \vec{v}
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0} = \vec{v} \times \vec{v}$ และ $\vec{v} \times \vec{u} = - \vec{u} \times \vec{v}$

จะได้

\begin{eqnarray*}
(\vec{u} - \vec{v}) \times (\vec{u} + \vec{v}) &=& \vec{0} + \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{v} - \vec{0}\\
&=& 2 (\vec{u} \times \vec{v})
\end{eqnarray*}

ข้อ ง ถูกต้อง

[ANS]$3$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การดอทเวกเตอร์ การครอสเวกเตอร์