,

การดอทและครอสมีสามารถสลับคู๋และตำแหน่งการดอทและครอสได้ ตราบใดที่การเรียงลำดับเวกเตอร์ยังคงเรียงกันเป็นวงกลมเหมือนเดิม ดังนี้

ซึ่ง $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ ตรงตามเงื่อนไข

ข้อ ก จึงถูกต้อง

,

การครอสนั้นมีผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ ซึ่งการสลับกลุ่มครอสกันมีผลต่อทิศทาง ยกตัวอย่างง่ายๆ เช่น

$$\begin{eqnarray*} (\vec{u} \times \vec{u}) \times \vec{v} &=& \vec{0} \times \vec{v}\\ &=& \vec{0} \end{eqnarray*}$$

แต่พิจารณา

$$\begin{eqnarray*} \vec{u} \times (\vec{u} \times \vec{v}) \end{eqnarray*}$$

จะเห็นว่า $\vec{u} \times \vec{v} \neq \vec{0}$ ดังนั้น $\vec{u} \times (\vec{u} \times \vec{v}) \neq \vec{0}$ เช่นกัน

ดังนั้นการครอสกันจึงไม่สามารถเปลี่ยนกลุ่มได้

ข้อ ข ไม่ถูกต้อง

,

เราใช้สมบัติการแจกแจงการดอท

$$\begin{eqnarray*} (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) &=& \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \vec{v} - \vec{v} \cdot \vec{u} - \vec{v} \cdot \vec{v} \end{eqnarray*}$$

เนื่องจาก $\vec{u} \cdot \vec{u} = {|\vec{u}|}^2, \vec{v} \cdot \vec{v} = {|\vec{v}|}^2$ และ $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$

จะได้

$$\begin{eqnarray*} (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) &=& {|\vec{u}|}^2 + \cancel{\vec{u} \cdot \vec{v}} - \cancel{\vec{v} \cdot \vec{u}} - {|\vec{v}|}^2\\ &=&  {|\vec{u}|}^2 - {|\vec{v}|}^2 \end{eqnarray*}$$

ข้อ ค ถูกต้อง

,

เราใช้สมบัติการแจกแจงการครอส

$$\begin{eqnarray*} (\vec{u} - \vec{v}) \times (\vec{u} + \vec{v}) &=& \vec{u} \times \vec{u} + \vec{u} \times \vec{v} - \vec{v} \times \vec{u} - \vec{v} \times \vec{v} \end{eqnarray*}$$

เนื่องจาก $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0} = \vec{v} \times \vec{v}$ และ $\vec{v} \times \vec{u} = - \vec{u} \times \vec{v}$

จะได้

$$\begin{eqnarray*} (\vec{u} - \vec{v}) \times (\vec{u} + \vec{v}) &=& \vec{0} + \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{v} - \vec{0}\\ &=& 2 (\vec{u} \times \vec{v}) \end{eqnarray*}$$

ข้อ ง ถูกต้อง