กำหนดให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งมีด้าน $AB = AC$ ถ้ามุม $A = 150^\circ$ และด้าน $BC$ ยาว $16$ หน่วย แล้ว พื้นที่รูปสามเหลี่ยม $ABC$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]วาดรูปสามเหลี่ยม $ABC$[/STEP]

$ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ความยาวด้าน $AB = AC$ เรากำหนดให้ยาว $x$ หน่วย

มุม $A = 150^o$ และ $BC$ ยาว $16$ หน่วย สามารถวาดรูปได้ดังนี้

[STEP]หาความยาว $x$ โดยใช้กฎของโคไซน์[/STEP]

จากกฎของโคไซน์ $$\displaystyle a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc \cos A$$

จะได้เป็น

\begin{eqnarray*}
16^2 &=& x^2 + x^2 - 2 (x) (x) \cos 150^o\\
256 &=& 2x^2 - 2x^2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\\
256 &=& 2x^2 - \cancel{2}x^2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{\cancel{2}} \right)\\
256 &=& 2x^2 + \sqrt{3} x^2
\end{eqnarray*}

เราไม่จำเป็นต้องหา $x$ จัดรูปแค่เพียงหา $x^2$ จะได้

\begin{eqnarray*}
256 &=& (2 + \sqrt{3})x^2\\
\frac{256}{2 + \sqrt{3}} &=& x^2
\end{eqnarray*}

จัดรูปโดยคูณคอนจูเกต $2 - \sqrt{3}$

\begin{eqnarray*}
x^2 &=& \frac{256}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}\\
&=& \frac{256(2 - \sqrt{3})}{2^2 - \sqrt{3} ^2}\\
&=& \frac{256(2 - \sqrt{3})}{4 - 3}\\
&=& 256(2 - \sqrt{3})
\end{eqnarray*}

[STEP]หาพื้นที่สามเหลี่ยม $ABC$[/STEP]

จากสูตรการหาพื้นที่สามเหลี่ยม $$\displaystyle \text{พื้นที่} = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} a c \sin B$$

เราเลือกใช้ $$\displaystyle \text{พื้นที่} = \frac{1}{2} b c \sin A$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
\text{พื้นที่} &=& \frac12 (x)(x) \sin 150^o\\
&=& \frac12 (x^2) \sin 150^o
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x^2 = 256(2 - \sqrt{3})$

\begin{eqnarray*}
\text{พื้นที่} &=& \frac12 (x^2) \sin 150^o\\
&=& \frac12 [256(2 - \sqrt{3})] \left( \frac{1}{2} \right)\\
&=& \frac{\cancelto{64}{256}(2 - \sqrt{3})}{\cancel{4}}\\
&=& 64(2 - \sqrt{3})
\end{eqnarray*}

[ANS]$64(2-\sqrt{3})$[/ANS]

ข้อนี้เราจะมองว่ามุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ต้องเป็น $15^o$ เพราะเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

แล้วใช้วิธีลากเส้นส่วนสูง ดังรูป

จากนั้นใช้ $\tan 15^o$ ในการหาความสูง แล้วหาพื้นที่ด้วยสูตร $\displaystyle \frac12 \times \text{ฐาน} \times \text{สูง}$

ก็สามารถทำได้เช่นกัน แต่จะต้องใช้สูตร $\tan (A - B)$ ในการหา $\tan 15^o$ ซึ่งจะเสียเวลา พี่จึงไม่ใช้วิธีนี้ครับ

ความรู้ที่ใช้ : กฎของโคไซน์ อัตราส่วนตรีโกณมิติบนสามเหลี่ยมมุมฉาก