เศษเหลือจากการหาร $11^{111}$ ด้วย $1210$ เท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาเศษจากการหาร $11, 11^2, 11^3$ ด้วย $1210$[/STEP]

$11$ หาร $1210$ เหลือเศษ $11$

$11^2 = 121$ หาร $1210$ เหลือเศษ $121$

$11^3 = 1331$ หาร $1210$ จะได้

\begin{eqnarray*}
1331 &=& 1210(1) + 121 &----& (1)
\end{eqnarray*}

นั่นคือเหลือเศษ $121$

[STEP]นำ $11$ คูณสมการ $(1)$ เพื่อให้ได้ $11$ ยกกำลัง $4, 5, 6, ...$[/STEP]

คูณ $11$ ตลอดสมการ $(1)$

\begin{eqnarray*}
1331(11) &=& 1210(11) + 121(11) &&\\
11^4 &=& 1210(11) + 121(10 + 1) &&\\
11^4 &=& 1210(11) + 1210 + 121 &&\\
11^4 &=& 1210(12) + 121 &----& (2)
\end{eqnarray*}

แสดงว่า $11^4$ หารด้วย $1210$ เหลือเศษ $121$

คูณ $11$ ตลอดสมการ $(2)$

\begin{eqnarray*}
11^4(11) &=& 1210(12)(11) + 121(11)\\
11^5 &=& 1210(132) + 121(10 + 1)\\
11^5 &=& 1210(132) + 1210 + 121\\
11^5 &=& 1210(133) + 121
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $11^5$ หารด้วย $1210$ เหลือเศษ $121$ เช่นกัน

และถ้าเราคูณด้วย $11$ ไปเรื่อยๆ จนได้ $11^{111}$ ก็ยังคงได้เศษเหลือ $121$ เช่นกัน

เราจึงสรุปได้ว่า $11^{111}$ หารด้วย $1210$ เหลือเศษ $121$

[ANS]$121$[/ANS]

ข้อนี้หลายๆ คนจะมองว่า $1210 = 11^2 \times 10$ แล้วตัดกับ $11^{111}$ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
\frac{11^{111}}{1210} &=& \frac{11^{111}}{11^2 \times 10}\\
&=& \frac{11^{\cancelto{109}{111}}}{\cancel{11^2} \times 10}\\
&=& \frac{11^{109}}{10}
\end{eqnarray*}

แล้วมองว่า $11$ ยกกำลังอะไรก็ลงท้ายด้วย $1$ เสมอ พอเอา $10$ ไปหาร เศษที่เหลือจากการหารด้วย $10$ ก็คือหลักหน่วย จึงไปตอบว่าเศษเหลือ $1$ ซึ่งผิด

สังเกตง่ายๆ เช่น $100$ หารด้วย $15$ จะได้ $$100 = 15(6) + 10$$

นั่นคือเศษเหลือ $10$

แต่ถ้าเราตัดด้วย $5$

\begin{eqnarray*}
\frac{100}{15} &=& \frac{\cancelto{20}{100}}{\cancelto{3}{15}}\\
&=& \frac{20}{3}
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $20$ หารด้วย $3$ เหลือเศษ $2$ แต่เศษที่ได้เป็นเศษ "ปลอม" นะครับ

เศษที่แท้จริงคือต้องเอาเศษปลอมไปคูณกับตัวที่ตัดด้วย นั่นคือเศษจริงๆ เท่ากับ $2 \times 5 = 10$

เช่นเดียวกับกรณีของโจทย์ข้อนี้ ถ้าเราเอา $11^2$ ตัดไปแล้ว ได้เศษปลอมมาเหลือ $1$

เศษจริงๆ ต้องเอา $11^2$ กลับไปคูณกับเศษปลอมด้วย จะได้ $11^2 \times 1 = 121$ นั่นเองครับ

ความรู้ที่ใช้ : การหารจำนวนเต็มและเศษเหลือ