กำหนดให้ $z_1,z_2,z_3$ เป็นรากที่ $3$ ของจำนวนเชิงซ้อนจำนวนหนึ่ง ถ้า $z_1$ อยู่ในจตุภาคที่ $1$ ของระนาบเชิงซ้อน โดยที่ $\left| z_1 \right| = 2$ และ $z_3 = \bar{z_1}$ แล้ว ค่าของ $z_2 + z_3$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาการถอดรากที่ $3$[/STEP]

สมมุติให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน เขียนในรูปเชิงขั้วได้เป็น $z = |z| \operatorname{cis} \theta$

ถอดรากที่ $3$ จะได้

\begin{eqnarray*}
z^{\frac13} &=& |z|^{\frac13} \operatorname{cis} \left ( \frac{\theta + 360^o k}{3} \right ) &\text{เมื่อ}& k = 0, 1 ,2
\end{eqnarray*}

จะได้รากที่ $3$ ทั้ง $3$ ตัวคือ

$$\displaystyle |z|^{\frac13} \operatorname{cis} \left ( \frac{\theta}{3} \right ) , |z|^{\frac13} \operatorname{cis} \left ( \frac{\theta + 360^o}{3} \right ) , |z|^{\frac13} \operatorname{cis} \left ( \frac{\theta + 720^o}{3} \right )$$

หรือ

$$\displaystyle |z|^{\frac13} \operatorname{cis} \left ( \frac{\theta}{3} \right ) , |z|^{\frac13} \operatorname{cis} \left ( \frac{\theta}{3} + 120^o \right ) , |z|^{\frac13} \operatorname{cis} \left ( \frac{\theta}{3} + 240^o \right )$$

[STEP]พิจารณาค่าของ $z_1 , z_2$ และ $z_3$[/STEP]

$z_1 , z_2$ และ $z_3$ เป็นรากที่ $3$ ของ $z$

เนื่องจาก $z_1$ อยู่ควอดรันต์ที่ $1$ ดังนั้น $$\displaystyle z_1 = |z|^{\frac13} \operatorname{cis} \left ( \frac{\theta}{3} \right )$$

และเพราะว่า $z_3 = \overline{z_1}$ แสดงว่า $z_3$ ต้องอยู่ควอดรันต์ที่ $4$ หมายความว่า $$\displaystyle z_3 = |z|^{\frac13} \operatorname{cis} \left ( \frac{\theta}{3} + 240^o \right )$$

จากโจทย์กำหนดว่า $|z_1| = 2$ เราจึงได้ว่า $|z_2| = |z_3| = 2$ ด้วย

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
z_1 &=& 2 \operatorname{cis} \left ( \frac{\theta}{3} \right )\\
z_2 &=& 2 \operatorname{cis} \left ( \frac{\theta}{3} + 120^o \right )\\
z_3 &=& 2 \operatorname{cis} \left ( \frac{\theta}{3} + 240^o \right )
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาความสัมพันธ์ของมุมของ $z_1$ และ $z_3$[/STEP]

เนื่องจาก $z_3 = \overline{z_1}$ แสดงว่ามุมที่ $z_1$ และ $z_3$ ทำกับแกน $X$ ด้านบวก จึงเป็น $\dfrac{\theta}{3}$ เหมือนกัน

และมุมของ $z_3$ นั้นเป็น $\dfrac{\theta}{3} + 240^o$

จากรูปจึงได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\frac{\theta}{3} + \frac{\theta}{3} + 240^o &=& 360^o\\
2 \left( \frac{\theta}{3} \right)  &=& 120^o\\
\frac{\theta}{3} &=& 60^o
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $z_2 + z_3$[/STEP]

แทนค่า $\displaystyle \frac{\theta}{3} = 60^o$ จะได้

\begin{eqnarray*}
z_2 &=& 2 \operatorname{cis} (60^o + 120^o) &=& 2(\cos 180^o + i \sin 180^o) &=& -2 &&\\
z_3 &=& 2 \operatorname{cis} (60^o + 240^o) &=& 2(\cos 300^o + i \sin 300^o) &=& 2 \left( \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) &=& 1 - \sqrt{3} i
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
z_2 + z_3 &=& -2 + 1 - \sqrt{3} i\\
&=& -1 - \sqrt{3} i
\end{eqnarray*}

[ANS]$-1-\sqrt3i$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : รูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน การถอดรากของจำนวนเชิงซ้อน