กำหนดให้ 

$$f(x) = \begin{cases} (x+1)^2 - 5 &,\text{ เมื่อ } x<-1\\
-5 &, \text{ เมื่อ } -1 \leq x \leq 1\\
 (x-1)^2 -5 &,\text{ เมื่อ } x>1 \\ \end{cases}$$

แล้วค่าของ $\left( f\circ f \right)'(2)$ เท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิท[/STEP]

จาก $(f \circ f)(x) = f(f(x))$

จะได้

$$f(f(x)) = \begin{cases} (f(x)+1)^2 - 5 &,\text{ เมื่อ } f(x)<-1\\
-5 &, \text{ เมื่อ } -1 \leq f(x) \leq 1\\
 (f(x)-1)^2 -5 &,\text{ เมื่อ } f(x)>1 \\ \end{cases}$$

หาอนุพันธ์

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx} (f \circ f)(x) &=& \frac{d}{df(x)} f(f(x)) \cdot \frac{d}{dx} f(x)
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาการหาอนุพันธ์ที่ $x = 2$[/STEP]

ถ้า $x = 2$ จะได้ว่า $f(2) = (2-1)^2 - 5 = 1 - 5 = -4$

ดังนั้น $f(f(x))$ จึงต้องเลือกใช้ช่วงบนสุดคือ $f(x) < -1$

จะได้

\begin{eqnarray*}
 \frac{d}{df(x)} f(f(x)) &=& \frac{d}{df(x)} \left [ (f(x)+1)^2 - 5 \right ]\\
&=& 2(f(x) + 1)
\end{eqnarray*}

และ $f(x)$ ต้องเลือกใช้ช่วงที่ $x>1$ นั่นคือ

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx} f(x) &=& \frac{d}{dx} \left[ (x-1)^2 - 5 \right]\\
&=& 2(x-1)
\end{eqnarray*}

[STEP]แทนค่า $x = 2$[/STEP]

เราได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx} (f \circ f)(x) &=& \frac{d}{df(x)} f(f(x)) \cdot \frac{d}{dx} f(x)\\
(f \circ f)'(x) &=& \left [ 2(f(x) + 1) \right ] \left [ 2(x-1) \right ]
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
(f \circ f)'(2) &=& \left [ 2(f(2) + 1) \right ] \left [ 2(2-1) \right ]\\
&=& 2 (-4 + 1) (2)\\
&=& 2 (-3) (2)\\
&=& -12
\end{eqnarray*}

[ANS]$-12$[/ANS]

การดิฟฟังก์ชันที่เป็นทั้งฟังก์ชันแบ่งช่วงและฟังก์ชันคอมโพสิท จะยากที่การเลือกช่วงที่จะเอามาดิฟ ต้องสังเกตให้ดีครับ ยิ่งเป็นฟังก์ชันเดียวกันมาคอมโพสิทกัน ยิ่งทำให้สับสนได้ง่ายเลย

ความรู้ที่ใช้ : กฎลูกโซ่ ฟังก์ชันคอมโพสิท อนุพันธ์ของฟังก์ชันแบ่งช่วง