กล่องใบหนึ่งมีผ้ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า $8$ ผืน ซึ่งมีความกว้างและยาว (ฟุต) ดังนี้

$$\{ 1, 2 \} , \{2,3\} , \{3,4\} , \{4,5\} , \{2,4\} , \{ 4,6\} , \{6,8\}, \{8,10\}$$

ถ้าสุ่มหยิบผ้า $1$ ผืน จากกล่องใบนี้ แล้ว ความน่าจะเป็นที่ความยาวของเส้นทแยงมุมของผ้าผืนนี้เป็นจำนวนเต็มเท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาความยาวของเส้นทแยงมุม[/STEP]

สมมติให้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง $a$ ยาว $b$ และเส้นทแยงมุมยาว $x$ ดังรูป

โดยทฤษฎีบทของพีทาโกรัส จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
x^2 &=& a^2 + b^2\\
x &=& \sqrt{a^2 + b^2}
\end{eqnarray*}

[STEP]หาความยาวของเส้นทแยงมุมรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้ง $8$ รูป[/STEP]

$\{1, 2\}$

กว้าง $1$ ยาว $2$ จะได้เส้นทแยงมุมยาว $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

$\{2, 3\}$

กว้าง $2$ ยาว $3$ จะได้เส้นทแยงมุมยาว $\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$

$\{3, 4\}$

กว้าง $3$ ยาว $4$ จะได้เส้นทแยงมุมยาว $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

$\{4, 5\}$

กว้าง $4$ ยาว $5$ จะได้เส้นทแยงมุมยาว $\sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16+25} = \sqrt{41}$

$\{2, 4\}$

กว้าง $2$ ยาว $4$ จะได้เส้นทแยงมุมยาว $\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}$

$\{4, 6\}$

กว้าง $4$ ยาว $6$ จะได้เส้นทแยงมุมยาว $\sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52}$

$\{6, 8\}$

กว้าง $6$ ยาว $8$ จะได้เส้นทแยงมุมยาว $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$

$\{8, 10\}$

กว้าง $8$ ยาว $10$ จะได้เส้นทแยงมุมยาว $\sqrt{8^2 + 10^2} = \sqrt{64+100} = \sqrt{164}$

[STEP]หาความน่าจะเป็น[/STEP]

จะเห็นว่ามี $2$ รูป ที่ความยาวเส้นทแยงมุมเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น

$$P(E) = \dfrac{2}{8}$$

[ANS]$\dfrac28$[/ANS]