รูปสามเหลี่ยม $ABC$ มีมุม $B$ และมุม $C$ เป็นมุมแหลม เมื่อลากเส้นจากจุด $A$ มาตั้งฉากกับด้าน $BC$ ที่จุด $D$ จะได้ $AD$ ยาวเป็นครึ่งหนึ่งของ $AB$ และ $AD$ ยาวเท่ากับ $DC$

มุม $A$ มีขนาดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]วาดรูปสามเหลี่ยม $ABC$[/STEP]

โจทย์กำหนดให้ $AD$ ยาวเป็นครึ่งหนึ่งของ $AB$ เราจึงสมมติให้ $AD = x$ และ $AB = 2x$

ส่วน $AD$ กับ $DC$ ยาวเท่ากัน ดังนั้น $DC = x$

ได้รูปดังนี้

[STEP]พิจารณารูปสามเหลี่ยม $ADC$[/STEP]

จะเห็นว่ารูปสามเหลี่ยม $ADC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว แสดงว่ามุม $\displaystyle D \hat{A} C = 45^o$

[STEP]พิจารณารูปสามเหลี่ยม $ADB$[/STEP]

พิจารณามุม $D \hat{A} B$ ด้าน $AD$ คือด้านประชิด ส่วนด้าน $AB$ คือด้านตรงข้ามมุมฉาก เราจึงเลือกใช้อัตราส่วน $\cos$

\begin{eqnarray*}
\cos{A} &=& \frac{AD}{AB}\\
&=& \frac{x}{2x}\\
&=& \frac12
\end{eqnarray*}

แสดงว่า $D \hat{A} B = 60^o$

[STEP]หาขนาดมุม $\hat{A}$ ของรูปใหญ่[/STEP]

เราจึงได้ว่า $$\hat{A} = D \hat{A} C + D \hat{A} B = 45^o + 60^o = 105^o$$

[ANS]$105^o$[/ANS]