พิจารณาความสัมพันธ์ต่อไปนี้

$r_1 = \{ (1,2),(1,3),(2,4),(3,6),(5,10)\}$
$r_2 = \{ (1,1),(2,1),(3,1),(4,4),(5,5) \}$
$r_3 = \{ (x, y) \;|\; y = x^2 + 1 \}$
$r_4 = \{ (x, y) \;|\; |y| = x \}$

จำนวนความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชันเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณา $r_1$ กับ $r_2$[/STEP]

ความสัมพันธ์จะเป็นฟังก์ชันเมื่อไม่มีคู่อันดับที่ "หน้าซ้ำหลังต่าง"

$r_1$ มีคู่อันดับ $(1,2)$ กับ $(1,3)$ ซึ่งมีหน้าซ้ำกันคือ $1$ และหลังต่างกันคือ $2$ กับ $3$ แสดงว่าไม่เป็นฟังก์ชัน

$r_2$ ไม่มีคู่อันดับใดเลยที่มีสมาชิกตัวหน้าซ้ำกัน แสดงว่าเป็นฟังก์ชัน

[STEP]พิจารณา $r_3$[/STEP]

การพิจารณาความสัมพันธ์ว่าเป็นฟังก์ชันหรือไม่ สามารถดูจากกราฟได้เช่นกัน

ความสัมพันธ์ $r_3$ หากเราวาดกราฟ $y = x^2 + 1$ จะเป็นพาราโบลาหงายดังรูป

วิธีการตรวจสอบคือให้ลากเส้นตรงขนานกับแกน $Y$ หากมีเส้นไหนที่ตัดกราฟเกิน $1$ จุด ก็จะไม่เป็นฟังก์ชัน

ซึ่งกราฟของ $r_3$ จะเห็นว่า ไม่ว่าเราลาดเส้นตรงขนานกับแกน $Y$ ตรงไหน ก็จะตัดแค่จุดเดียวเสมอ

ดังนั้น $r_3$ เป็นฟังก์ชัน

[STEP]พิจารณา $r_4$[/STEP]

กราฟของค่าสัมบูรณ์จะเป็นรูปตัว $V$ ซึ่งถ้าค่าสัมบูรณ์อยู่ที่ $x$ จะเป็นแบบหงาย/คว่ำ

แต่ $|y| = x$ ค่าสัมบูรณ์อยู่ที่ $y$ จึงตะแคงดังรูป

ซึ่งพอลากเส้นตรงขนานแกน $Y$ แล้ว จะตัดเกิน $1$ จุด

ดังนั้น $r_4$ ไม่เป็นฟังก์ชัน

สรุปว่า มี $r_2$ และ $r_3$ ที่เป็นฟังก์ชัน

[ANS]$2$[/ANS]

สำหรับ $r_3$ และ $r_4$ หากไม่ถนัดการวาดกราฟ เราสามารถพิจารณาค่าของ $x$ และ $y$ โดยใช้หลักการที่ว่า การมีหน้าซ้ำหลังต่าง หมายถึงมี $x$ สัก $1$ ค่า ที่แทนเข้าไปแล้วสามารถหาค่า $y$ ได้เกิน $1$ ค่า

เช่นใน $r_4$ ถ้าเราแทน $x$ ด้วย $1$ จะได้

$$|y| = 1$$

ซึ่ง $y$ สามารถเป็น $1$ หรือ $-1$ ก็ได้ นั่นคือใน $r_4$ มีคู่อันดับ $(1, 1)$ และ $(1, -1)$ อยู่ เกิดเหตุการณ์หน้าซ้ำหลังต่าง จึงไม่เป็นฟังก์ชัน

แต่ $r_3$ นั้น ไม่ว่าจะแทน $x$ ด้วยค่าใด ก็สามารถหา $y$ ได้เพียงค่าเดียวเสมอ จึงเป็นฟังก์ชัน