ฝ่ายควบคุมคุณภาพของโรงงานแห่งหนึ่งได้สุ่มตัวอย่างปลากระป๋องชนิดหนึ่งมา $10$ กระป๋อง โดยน้ำหนัก (กรัม) ของแต่ละกระป๋องเขียนเป็นแผนภาพต้น-ใบ ได้ดังนี้

ถ้ากระป๋องที่ได้มาตรฐานต้องมีน้ำหนักอยู่ในช่วง $\displaystyle \left( \overline{x} - \frac97 s , \overline{x} + \frac97 s \right)$ เมื่อ $\overline{x}$ และ $s$ แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกระป๋องที่สุ่มมาตามลำดับ แล้ว ปลากระป๋องที่สุ่มมามีน้ำหนักได้มาตรฐานมีจำนวนเท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต[/STEP]

เทคนิคการหาผลรวมของข้อมูลในรูปแผนภาพต้น-ใบ คือรวมเฉพาะค่าทางขวาก่อน แล้วค่อยบวกค่าทางซ้ายคูณกับจำนวนข้อมูล

หาผลรวมข้อมูลทางขวามือได้ดังนี้

แถวบนสุดมีข้อมูลเพียงตัวเดียว นั่นคือ $$9+140 = 149$$

แถวกลางมีข้อมูล $6$ ตัว เราต้องบวกด้วย $150$ ทั้งหมด $6$ ครั้ง จะได้ $$18 + 150(6) = 18 + 900 = 918$$

แถวล่างสุดมีข้อมูล $3$ ตัว เราต้องบวกด้วย $160$ ทั้งหมด $3$ ครั้ง จะได้ $$3 + 160(3) = 3 + 480 = 483$$

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ $$\displaystyle \overline{x} = \frac{149 + 918 + 483}{10} = \frac{1,550}{10} = 155$$

[STEP]หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน[/STEP]

ข้อนี้โจทย์บอกว่าเป็นการสุ่มตัวอย่าง จึงต้องใช้สูตรกลุ่มตัวอย่าง นั่นคือ $$\displaystyle s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10} (x_i - \overline{x})}{N-1}}$$

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
s &=& \sqrt{\frac{(149-155)^2 + (150 - 155)^2 + (150 - 155)^2 + (154 - 155)^2 + (154 - 155)^2 + (155 - 155)^2 + (155 - 155)^2 + (161 - 155)^2 + (161 - 155)^2 + (161 - 155)^2}{10 - 1}}\\
&=& \sqrt{\frac{(-6)^2 + (-5)^2 + (-5)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 6^2 + 6^2 + 6^2}{9}}\\
&=& \sqrt{\frac{36+25+25+1+1+0+0+36+36+36}{9}}\\
&=& \sqrt{\frac{196}{9}}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ $$s = \dfrac{14}{3}$$

[STEP]หาจำนวนปลากระป๋องที่ได้มาตรฐาน[/STEP]

น้ำหนักมาตรฐานที่โรงงานกำหนดคืออยู่ในช่วง $\displaystyle \left( \overline{x} - \frac97 s , \overline{x} + \frac97 s \right)$

ซึ่ง $\displaystyle \overline{x} - \frac97 s = 155 - \frac97 \cdot \frac{14}{3} = 155 -6 = 149$

และ $\displaystyle \overline{x} + \frac97 s = 155 + \frac97 \cdot \frac{14}{3} = 155 +6 = 161$

แสดงว่าน้ำหนักที่ได้มาตรฐานต้องอยู่ในช่วง $(149, 161)$

มีทั้งหมด $6$ กระป๋อง

[ANS]$6$ กระป๋อง[/ANS]

เทคนิคการคำนวณ $(\sum (x_i - \overline{x})^2$ ตอนหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือแค่เราดูว่า $x_i$ กับ $\overline{x}$ มี ผลต่าง กันเท่าไร จับมายกกำลังบสองได้เลยโดยไม่ต้องสนใจเครื่องหมาย เพราะยกกำลัง $2$ ก็ได้เครื่องหมายเป็นบวกแน่นอน