คะแนนสอบวิชาประวัติศาสตร์ของนักเรียนจำนวน $12$ คน เป็นดังนี้

$$x \;\;\; 70 \;\;\; 65 \;\;\; 49 \;\;\; 91 \;\;\; 72 \;\;\; 86 \;\;\; 78 \;\;\; 91 \;\;\; 92 \;\;\; 65 \;\;\; 45$$

ถ้ามัธยฐานของคะแนนสอบคือ $73$ คะแนน แล้ว $x$ มีค่าเท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]เรียงข้อมูลโดยไม่นับข้อมูล $x$[/STEP]

ข้อมูลมีทั้งหมด $12$ จำนวน แสดงว่ามัธยฐานคือกึ่งกลางระหว่างข้อมูลตัวที่ $6$ กับ $7$

เมื่อไม่นับข้อมูล $x$ เราจะเรียงข้อมูลจากน้อยไปมากได้ดังนี้

$$45 \;\;\; 49 \;\;\; 65 \;\;\; 65 \;\;\; 70 \;\;\; 72 \;\;\; 78 \;\;\; 86 \;\;\; 91 \;\;\; 91 \;\;\; 92$$

ซึ่งข้อมูลตัวกลางสุดคือ $72$ เราจะพิจารณาค่า $x$ ดังนี้

[STEP]พิจารณาค่า $x$ ที่ไม่เกิน $72$[/STEP]

หากค่า $x$ ไม่เกิน $72$ จะได้ว่า $x$ ต้องอยู่ทางซ้ายของ $72$ เช่น

$$45 \;\;\; 49 \;\;\; 65 \;\;\; 65 \;\;\; 70 \;\;\; x \;\;\; 72 \;\;\; 78 \;\;\; 86 \;\;\; 91 \;\;\; 91 \;\;\; 92$$

ส่งผลให้ $72$ กลายเป็นข้อมูลตัวที่ $7$ แต่มัธยฐานของเราอยู่ระหว่างตัวที่ $6$ กับ $7$

นั่นคือมัธยฐานมีค่าไม่เกิน $72$ แน่นอน จึงเป็นไปไม่ได้เลยที่มัธยฐานจะเท่ากับ $73$ ตามต้องการ

ดังนั้น $x$ ในกรณีนี้เป็นไปไม่ได้

[STEP]พิจารณาค่า $x$ ที่เกิน $72$ แต่ไม่ถึง $78$[/STEP]

หากค่า $x$ เกิน $72$ แต่ไม่ถึง $78$ จะได้ว่า $x$ อยู่ทางขวาถัดจาก $72$ ดังนี้

$$45 \;\;\; 49 \;\;\; 65 \;\;\; 65 \;\;\; 70 \;\;\; 72 \;\;\; x \;\;\; 78 \;\;\; 86 \;\;\; 91 \;\;\; 91 \;\;\; 92$$

ซึ่งมัธยฐานคือกึ่งกลางระหว่าง $72$ กับ $x$ นั่นคือ $$\displaystyle Med = \frac{72+x}{2}$$

ต้องการให้ $Med = 73$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\frac{72+x}{2} &=& 73\\
72+x &=& 146\\
x &=& 74
\end{eqnarray*}

ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขที่ $x$ เกิน $72$ แต่ไม่ถึง $78$

ดังนั้น $$x = 74$$

[ANS]$74$ คะแนน[/ANS]

สังเกตดูว่าหาก $x$ มีค่าเกิน $78$ จะได้ว่ามัธยฐานคือ $\displaystyle \frac{72+78}{2} = 75$ ซึ่งไม่ใช่ที่โจทย์ต้องการ