กำหนดให้ $a_1 , a_2 , a_3 , ... , a_n$ เป็นลำดับเลขคณิต

และ $b_n = a_{3n-2}$ เมื่อ $n = 1, 2, 3, ..., 11$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. $b_1 , b_2 , b_3 , ... , b_{11}$ เป็นลำดับเลขคณิต

ข. $\displaystyle \frac{b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_{11}}{11} = a_{16}$

ค. $\displaystyle \frac{a_1 + a_{31}}{2} = a_{16}$

ง. $\displaystyle \frac{b_2 + b_{10}}{2} = a_{16}$

จำนวนข้อความที่ถูกต้อง เท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาข้อ ก.[/STEP]

สมมติให้ $a_1 , a_2 , a_3 , ... , a_n$ มีผลต่างร่วมคือ $d$

\begin{eqnarray*}
b_1 &=& a_{3 - 2} &=& a_1\\
b_2 &=& a_{6-2} &=& a_4\\
b_3 &=& a_{9-2} &=& a_7\\
&\vdots& &\vdots& \\
b_{11} &=& a_{33-2} &=& a_{31}
\end{eqnarray*}

ซึ่ง $a_1 , a_4 , a_7 , ... , a_{31}$ มีผลต่างดังนี้

จะเห็นว่าทุกพจน์ที่อยู่ติดกัน ค่าเพิ่มขึ้น $3d$ เท่ากันหมด แสดงว่าเป็นลำดับเลขคณิตเช่นกัน

ดังนั้น ข้อ ก. ถูกต้อง

[STEP]พิจารณาข้อ ข.[/STEP]

จากข้อ ก. เราทราบว่า $b_1 , b_2 , b_3 , ... , b_{11}$ เป็นลำดับเลขคณิต

แสดงว่า $b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_{11}$ เป็นอนุกรมเลขคณิต และสามารถเขียนในรูป $$b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_{11} = a_1 + a_4 + a_7 + ... + a_{31}$$

คือเป็นอนุกรมเลขคณิตที่มีพจน์แรกคือ $a_1$ ผลต่างร่วมเป็น $3d$ และมี $11$ พจน์ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
S_n &=& \frac{n}{2} [2 a_1 + (n-1) d]\\
b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_{11} &=& \frac{11}{2} [2a_1 + (10)(3d)]\\
&=& \frac{11}{2} (2a_1 + 30d)\\
&=& \frac{11}{\cancel{2}} (\cancel{2}a_1 + \cancelto{15}{30}d)
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_{11} &=& (11)(a_1 + 15d)
\end{eqnarray*}

จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_{11}}{11} &=& \frac{(11)(a_1 + 15d)}{11}\\
&=& \frac{(\cancel{11})(a_1 + 15d)}{\cancel{11}}\\
&=& a_1 + 15d
\end{eqnarray*}

ซึ่ง $a_1 + 15d = a_{16}$

ดังนั้น ข้อ ข. ถูกต้อง

[STEP]พิจารณาข้อ ค.[/STEP]

เนื่องจาก $a_{31} = a_1 + 30d$

จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{a_1 + a_{31}}{2} &=& \frac{a_1 + a_1 + 30d}{2}\\
&=& \frac{2a_1 + 30d}{2}\\
&=& \frac{\cancel{2}a_1 + \cancelto{15}{30}d}{\cancel{2}}\\
&=& a_1 + 15d
\end{eqnarray*}

ซึ่ง $a_1 + 15d = a_{16}$

ดังนั้น ข้อ ค. ถูกต้อง

[STEP]พิจารณาข้อ ง.[/STEP]

จาก $b_2 = a_4$ และ $b_{10} = a_{28}$

จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{b_2 + b_{10}}{2} &=& \frac{a_4 + a_{28}}{2}
\end{eqnarray*}

แทนค่า $a_4 = a_1 + 3d$ และ $a_{28} = a_1 + 27d$

\begin{eqnarray*}
\frac{b_2 + b_{10}}{2} &=& \frac{(a_1 + 3d) + (a_1 + 27d)}{2}\\
&=& \frac{2a_1 + 30d}{2}\\
&=& \frac{\cancel{2}a_1 + \cancelto{15}{30}d}{\cancel{2}}\\
&=& a_1 + 15d
\end{eqnarray*}

ซึ่ง $a_1 + 15d = a_{16}$

ดังนั้น ข้อ ง. ถูกต้อง

[ANS]$4$[/ANS]