กำหนดให้ $a_1 , a_2 , a_3 , ... , a_n , ...$ เป็นลำดับ

ถ้า $a_1 + a_2 = 10$ และ $a_{n+2} - a_n = 3$ เมื่อ $n \in \{1, 2, 3, ...\}$

แล้ว ผลบวก $a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{40}$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาพจน์ทั่วไปของลำดับ[/STEP]

จาก $$a_{n+2} - a_n = 3$$ จะได้ว่า $$a_{n+2} = a_n + 3$$

นั่นคือ

\begin{eqnarray*}
a_3 &=& a_1 + 3\\
a_4 &=& a_2 + 3\\
a_5 &=& a_3 + 3\\
a_6 &=& a_4 + 3\\
&\vdots&\\
a_{39} &=& a_{37} + 3\\
a_{40} &=& a_{38} + 3
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาเฉพาะพจน์คี่[/STEP]

หากพิจารณาเฉพาะพจน์คี่ จะเห็นว่า

\begin{eqnarray*}
a_1 &&\\
a_3 &=& a_1 + 3\\
a_5 &=& a_3 + 3\\
&\vdots&\\
a_{39} &=& a_{37} + 3
\end{eqnarray*}

นั่นคือ พจน์คี่ที่อยู่ติดกัน จะมีค่าเพิ่มขึ้นทีละ $3$ ดังนี้

หมายความว่าเป็นลำดับเลขคณิตที่มีพจน์แรกคือ $a_1$ มี $20$ พจน์ และ $d=3$ จะได้

\begin{eqnarray*}
S_n &=& \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]\\
a_1 + a_3 + a_5 + ... + a_{39} &=& \frac{20}{2} [2a_1 + 19(3)]\\
&=& (10)(2a_1 + 57)\\
&=& 20a_1 + 570
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาเฉพาะพจน์คู่[/STEP]

ในทำนองเดียวกัน หากพิจารณาเฉพาะพจน์คู่ จะเห็นว่า

\begin{eqnarray*}
a_2 &&\\
a_4 &=& a_2 + 3\\
a_6 &=& a_4 + 3\\
&\vdots&\\
a_{40} &=& a_{38} + 3
\end{eqnarray*}

นั่นคือ พจน์คู่ที่อยู่ติดกัน จะมีค่าเพิ่มขึ้นทีละ $3$ ดังนี้

เป็นลำดับเลขคณิตที่มีพจน์แรกคือ $a_2$ มี $20$ พจน์ และ $d=3$ จะได้

\begin{eqnarray*}
S_n &=& \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]\\
a_2 + a_4 + a_6 + ... + a_{40} &=& \frac{20}{2} [2a_2 + 19(3)]\\
&=& (10)(2a_2 + 57)\\
&=& 20a_2 + 570
\end{eqnarray*}

[STEP]หาผลรวมทั้งหมด[/STEP]

หาผลรวมทั้ง $40$ พจน์ จะได้

\begin{eqnarray*}
(a_1 + a_3 + a_5 + ... + a_{39}) + (a_2 + a_4 + a_6 + ... + a_{40}) &=& (20a_1 + 570) + (20a_2 + 570)\\
a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{40} &=& (20a_1 + 20a_2) + 570 + 570\\
&=& 20(a_1 + a_2) + 1,140
\end{eqnarray*}

แต่ $a_1 + a_2 = 10$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{40} &=& 20(10) + 1,140\\
&=& 200 + 1,140\\
&=& 1,340
\end{eqnarray*}

[ANS]$1,340$[/ANS]