กำหนดให้ $A$ คือเซตของจำนวนเต็ม ซึ่งอยู่ในช่วง $[-30, 30]$

ถ้า $S$ คือเซตของ $m \in A$ ที่ทำให้จุดตัดของกราฟ $y = 2x^2 + x + 2m$ และกราฟ $y = mx - 8$ มีจำนวน $2$ จุด แล้ว จำนวนสมาชิกของ $S$ เท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาจุดตัดของกราฟ[/STEP]

จุดตัดของกราฟ $y = 2x^2 + x + 2m$ และ $y = mx - 8$ หาได้จากการแก้ระบบสมการ

\begin{eqnarray*}
y &=& 2x^2 + x + 2m &----& (1)\\
y &=& mx - 8 &----& (2)
\end{eqnarray*}

แก้สมการโดยการจับทั้งสองสมการเท่ากัน

\begin{eqnarray*}
2x^2 + x + 2m &=& mx - 8\\
2x^2 + x + 2m - mx + 8 &=& 0\\
2x^2 +(1-m)x + (2m+8) &=& 0
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาจำนวนจุดตัด[/STEP]

กราฟตัดกัน $2$ จุด แสดงว่าต้องแก้สมการแล้วได้ $2$ คำตอบ

จาก $$\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

จะมี $x$ $2$ คำตอบ เมื่อ $$b^2 - 4ac > 0$$

จากสมการ $2x^2 +(1-m)x + (2m+8) = 0$ เราทราบว่า $a = 2, b = 1-m$ และ $c = 2m+8$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
(1-m)^2 - 4(2)(2m+8) &>& 0\\
1^2 - 2m + m^2 - 16m - 64 &=& 0\\
m^2 - 18m - 63 &>& 0\\
(m-21)(m+3) &>& 0
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $m < -3$ หรือ $m > 21$

[STEP]หาจำนวนสมาชิกของ $S$[/STEP]

สมาชิกของ $S$ คือค่า $m$ ที่เป็นจำนวนเต็ม และอยู่ในช่วง $[-30, 30]$

ดังนั้น $S = \{ -30, -29, -28, ..., -4, 22, 23, 24, ..., 30 \}$

มีทั้งหมด $36$ ตัว

[ANS]$36$[/ANS]