กำหนดให้ $2, 6, 18, ...$ เป็นลำดับเรขาคณิต

ถ้าผลบวก $n$ พจน์แรก ของลำดับนี้เท่ากับ $6,560$ แล้ว พจนที่ $2n$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาข้อมูลที่โจทย์ให้[/STEP]

ลำดับเรขาคณิต $2, 6, 18, ...$ มี $a_1 = 2$ และ $r = 3$

โจทย์บอก $S_n = 6,560$ เราสามารถแทนค่าในสูตรเพื่อหา $n$ ได้เลย

[STEP]แทนสูตรอนุกรมเรขาคณิต[/STEP]

จาก $$\displaystyle S_n = \frac{a_1 (1 - r^n)}{1-r}$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
6,560 &=& \frac{2(1 - 3^n)}{1-3}\\
6,560 &=& \frac{\cancelto{-1}{2} (1-3^n)}{\cancel{-2}}\\
6,560 &=& 3^n - 1\\
6,561 &=& 3^n
\end{eqnarray*}

ซึ่ง $6,561 = 3^8$ ดังนั้น $$n = 8$$

[STEP]หาพจน์ที่ $2n$[/STEP]

เนื่องจาก $n = 8$ แสดงว่าเราต้องหา $a_{2n} = a_{16}$

\begin{eqnarray*}
a_n &=& a_1 r^{n-1}\\
a_{16} &=& 2 (3^{16 - 1})\\
&=& 2 (3^{15})
\end{eqnarray*}
 

[ANS]$2(3^{15})$[/ANS]