$\sqrt{3+2 \sqrt{2}}$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]กำหนดตัวแปร[/STEP]

สังเกตว่า $3 + 2\sqrt{2}$ มีสองส่วน คือส่วนที่เป็นจำนวนเต็มบวก $(3)$ กับส่วนที่ติดสแควรูท $(2 \sqrt{2})$

เราจึงกำหนดตัวแปรสองส่วนให้ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $y$ เป็นจำนวนที่ติดสแควรูท

โดยสมมติให้ $$x+y = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$$

แสดงว่า

\begin{eqnarray*}
(x+y)^2 &=& 3 + 2\sqrt{2}\\
x^2 + 2xy + y^2 &=& 3 + 2\sqrt{2}\\
(x^2 + y^2) + 2xy &=& 3 + 2\sqrt{2}
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $y$ ติดสแควรูท $y^2$ จึงเป็นจำนวนเต็มบวก และ $x^2 + y^2$ ก็เป็นจำนวนเต็มบวก

ส่วน $2xy$ ยังคงติดสแควรูท

เปรียบเทียบค่าทั้งสองข้างของสมการ จึงได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\; & x^2 + y^2 &=& 3 & ---- & (1)\\
\text{และ}\;\;\;\; & 2xy &=& 2 \sqrt{2} &&\\
\; & xy &=& \sqrt{2} & ---- & (2)
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้ระบบสมการ[/STEP]

จากสมการ $(2)$ จะได้

$$\displaystyle y = \frac{\sqrt{2}}{x}$$

แทนค่าในสมการ $(1)$

\begin{eqnarray*}
x^2 + \left( \frac{\sqrt{2}}{x} \right)^2 &=& 3\\
x^2 + \frac{2}{x^2} &=& 3
\end{eqnarray*}

คูณตลอดด้วย $x^2$

\begin{eqnarray*}
x^4 + 2 &=& 3x^2\\
x^4 - 3x^2 + 2 &=& 0\\
(x^2 - 1)(x^2 - 2) &=& 0\\
x^2 &=& 1, 2
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก จึงได้ว่า

\begin{eqnarray*}
x^2 &=& 1\\
x &=& 1
\end{eqnarray*}

และได้ $$\displaystyle y = \frac{\sqrt{2}}{x} = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}$$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} &=& x+y\\
&=& 1 + \sqrt{2}
\end{eqnarray*}

[ANS]$1 + \sqrt{2}$[/ANS]

เทคนิคการหาค่า $\displaystyle \sqrt{a + 2 \sqrt{b}}$ คือ ให้หาจำนวนที่รวมกันได้ $a$ และคูณกันได้ $b$ มา

เช่น สมมติให้ $x+y = a$ และ $xy = b$ จะได้ว่า $$\displaystyle \sqrt{a + 2 \sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$$

ตัวอย่างเช่นในข้อนี้ $\displaystyle \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ เราต้องหาจำนวนที่รวมกันได้ $3$ และคูณกันได้ $2$

ซึ่งสองจำนวนดังกล่าวคือ $1$ กับ $2$ นั่นเอง ดังนั้น

$$\displaystyle \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{1} + \sqrt{2} = 1 + \sqrt{2}$$