ให้ $A = \{ 1, 2, 3, ..., 100 \}$

ถ้า $S = \{ n \;|\; n \in A \;\text{โดยที่}\; n \;\text{หารด้วย}\; 2 \;\text{หรือ}\; 5 \;\text{ลงตัว}\; \text{แต่หารด้วย}\; 10 \;\text{ไม่ลงตัว}\}$

แล้ว จำนวนสมาชิกของ $S$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาโจทย์ในรูปของเซต[/STEP]

โจทย์ถามจำนวนสมาชิกของเซต $S$ นั่นก็คือหาว่ามีจำนวนเต็มตั้งแต่ $1$ ถึง $100$ กี่จำนวน ที่หารด้วย $2$ หรือ $5$ ลงตัว แต่หารด้วย $10$ ไม่ลงตัว

ซึ่งการหารด้วย $10$ ลงตัว นั้นหมายถึงจะต้องหารทั้ง $2$ และ $5$ ลงตัว เพราะ $10$ เป็น ค.ร.น. ของ $2$ และ $5$

​พิจารณาในรูปของเซต ดังนี้

สมมติให้เอกภพสัมพัทธ์คือจำนวนเต็ม $1, 2, 3, ..., 100$

$A$ แทนเซตของจำนวนที่หารด้วย $2$ ลงตัว และ $B$ แทนเซตของจำนวนที่หารด้วย $5$ ลงตัว

จำนวนที่หารด้วย $2$ หรือ $5$ ลงตัว หมายถึง $A \cup B$

จำนวนที่หารด้วย $10$ ลงตัว หมายถึง $A \cap B$

สิ่งที๋โจทย์ถามก็คือ

\begin{eqnarray*}
n(A \cup B) - n(A \cap B) &=& [n(A) + n(B) - n(A \cap B)] - n(A \cap B)\\
&=& n(A) + n(B) - 2 n(A \cap B)
\end{eqnarray*}

[STEP]หาจำนวนที่หารด้วย $2$ ลงตัว[/STEP]

จำนวนที่หารด้วย $2$ ลงตัว ได้แก่ $2, 4, 6, ..., 100$

ซึ่งก็คือจำนวนคู่ทั้งหมด มี $50$ จำนวน ดังนั้น $$n(A) = 50$$

[STEP]หาจำนวนที่หารด้วย $5$ ลงตัว[/STEP]

จำนวนที่หารด้วย $5$ ลงตัว ได้แก่ $5, 10, 15, ..., 100$

มีทั้งหมด $20$ จำนวน ดังนั้น $$n(B) = 20$$

[STEP]หาจำนวนที่หารด้วย $10$ ลงตัว[/STEP]

จำนวนที่หารด้วย $10$ ลงตัว ได้แก่ $10, 20, 30, ..., 100$

มีทั้งหมด $10$ จำนวน ดังนั้น $$n(A \cap B) = 10$$

[STEP]หาคำตอบ[/STEP]

ดังนั้น จำนวนที่หารด้วย $2$ หรือ $5$ ลงตัว แต่หารด้วย $10$ ไม่ลงตัว มีทั้งหมด

$n(A) + n(B) - 2 n(A \cap B) = 50 + 20 - 2(10) = 50$ จำนวน

[ANS]$50$[/ANS]

การหาว่ามีกี่จำนวนสามารถใช้ลำดับเลขคณิตได้ เช่น $5, 10, 15, ..., 100$ เป็นลำดับเลขคณิตที่ $a_1 = 5, a_n = 100$ และ $d = 5$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
a_n &=& a_1 + (n-1)d\\
100 &=& 5 + (n-1)(5)\\
95 &=& (n-1)(5)\\
19 &=& n-1
\end{eqnarray*}

แสดงว่า $n = 20$ มีทั้งหมด $20$ จำนวน