กำหนดให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม $C$ เป็นมุมฉาก มีด้าน $AB$ ยาว $20$ หน่วย และ $tan B = \dfrac34$

ถ้า $D$ เป็นจุดบนด้าน $BC$ โดยที่ $AD$ ยาว $13$ หน่วย แล้ว $\cos A \hat{D} C$ มีค่าเท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]วาดรูปสามเหลี่ยม $ABC$[/STEP]

รูปสามเหลี่ยม $ABC$ มี $C$ เป็นมุมฉาก ด้าน $AB$ ยาว $20$ หน่วย วาดรูปได้ดังนี้

[STEP]พิจารณา $\tan B$[/STEP]

เนื่องจาก $\tan B = \dfrac34$ แสดงว่า $$\displaystyle \frac{AC}{BC} = \frac34$$

กำหนดให้ $AC = 3x$ และ $BC = 4x$

โดยทฤษฎ๊บทของพีทาโกรัส จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
AB^2 &=& AC^2 + BC^2\\
20^2 &=& (3x)^2 + (4x)^2\\
400 &=& 9x^2 + 16x^2\\
400 &=& 25x^2
\end{eqnarray*}

แก้สมการหาค่า $x$

\begin{eqnarray*}
\frac{400}{25} &=& x^2\\
16 &=& x^2\\
4 &=& x
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $AC = 3x = 12$ และ $BC = 4x = 16$

[STEP]เพิ่มจุด $D$ และลากเส้น $AD$ ในรูป[/STEP]

จุด $D$ อยู่บนด้าน $BC$ และ $AD$ ยาว $13$ หน่วย ดังรูป

โจทย์ถามค่า $\cos A \hat{D} C$ แสดงว่าต้องหาความยาว $DC$

[STEP]พิจารณารูปสามเหลี่ยม $ADC$[/STEP]

จะเห็นว่ารูปสามเหลี่ยม $ADC$ ก็เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยทฤษฎีบทของพีทาโกรัสจะได้

\begin{eqnarray*}
13^2 &=& DC^2 + 12^2\\
169 &=& DC^2 + 144\\
25 &=& DC^2\\
5 &=& DC
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$$\displaystyle \cos A \hat{D} C = \frac{DC}{AD} = \frac{5}{13}$$

[ANS]$\dfrac{5}{13}$[/ANS]

$\displaystyle \frac{AC}{BC} = \frac34$ ไม่ได้จำเป็นที่ $AC = 3$ และ $BC = 4$ เพราะหาก $AC = 6$ และ $BC = 8$ ก็ยังได้อัตราส่วน $\displaystyle \frac{AC}{BC} = \frac34$ เช่นกัน เราจึงต้องกำหนดให้ $AC = 3x$ และ $BC = 4x$ แทน