จากรูป ถ้ากำหนดให้ $AB$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมี $10$ หน่วย มี $O$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม มีคอร์ด $CD$ ขนานกับ $AB$ และ $O \hat{D} C = 30^o$

แล้ว พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมู $AODC$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]ลากเส้นเชื่อมจุด $O$ กับ $C$ และเส้นความสูงของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู[/STEP]

สูตรพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูคือ $$\displaystyle \frac12 \times \text{ผลบวกของด้านคู่ขนาน} \times \text{สูง}$$

แสดงว่า $$\displaystyle \text{พื้นที่} \; AODC = \frac12 \times (\overline{AO} + \overline{CD}) \times \overline{EO}$$

[STEP]พิจารณารูปสามเหลี่ยม $OED$[/STEP]

เนื่องจาก $OD$ เป็นรัศมีของวงกลม แสดงว่า $\overline{OD} = 10$

หาความยาว $ED$ ใช้อัตราส่วน $\cos$ ของมุม $\hat{D}$

\begin{eqnarray*}
\cos \hat{D} &=& \frac{\overline{ED}}{\overline{OD}}\\
\cos 30^o &=& \frac{\overline{ED}}{10}\\
\frac{\sqrt{3}}{2} &=& \frac{\overline{ED}}{10}\\
5 \sqrt{3} &=& \overline{ED}
\end{eqnarray*}

หาความยาว $EO$ ใช้อัตราส่วน $\sin$ ของมุม $\hat{D}$

\begin{eqnarray*}
\sin \hat{D} &=& \frac{\overline{EO}}{\overline{OD}}\\
\sin 30^o &=& \frac{\overline{EO}}{10}\\
\frac{1}{2} &=& \frac{\overline{EO}}{10}\\
5 &=& \overline{EO}
\end{eqnarray*}

[STEP]หาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม $AODC$[/STEP]

จากรูปจะเห็นว่า $OC$ เป็นรัศมีของวงกลมเช่นกัน แสดงว่า $\overline{OC} = \overline{OD}$

รูปสามเหลี่ยม $OCD$ จึงเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ดังนั้น $\overline{CE} = \overline{ED} = 5\sqrt{3}$ ด้วย

เราจึงได้ว่า $$\overline{CD} = \overline{CE} + \overline{ED} = 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 10 \sqrt{3}$$

$AO$ ก็เป็นรัศมีของวงกลม แสดงว่า $\overline{AO} = 10$

\begin{eqnarray*}
\text{พื้นที่} \; AODC &=& \frac12 \times (\overline{AO} + \overline{CD}) \times \overline{EO}\\
&=& \frac12 \times (10 + 10\sqrt{3}) \times 5\\
&=& \frac{1}{\cancel{2}} \times (\cancelto{5}{10} + \cancelto{5}{10}\sqrt{3}) \times 5\\
&=& (5 + 5\sqrt{3}) \times 5
\end{eqnarray*}

ดึงตัวร่วม $5$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\text{พื้นที่} \; AODC &=& (1 + \sqrt{3}) (5) \times 5\\
&=& 25(1 + \sqrt{3})
\end{eqnarray*}

[ANS]$25 (1 + \sqrt{3})$ ตารางหน่วย[/ANS]