ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ $\displaystyle \left( \frac12 \right)^x \cdot (4)^{x^2 + x} = 8$

เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปสมการให้ฐานของเลขยกกำลังเท่ากัน[/STEP]

สังเกตในสมการจะเห็นว่า ฐานของเลขยกกำลังมี $\dfrac12 , 4$ และ $8$

เราจะทำให้เป็นฐานเดียวกัน นั่นคือ $2$ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
\left( \frac12 \right)^x \cdot (4)^{x^2 + x} &=& 8\\
(2^{-1})^x \cdot (2^2)^{x^2 + x} &=& 2^3\\
2^{-x} \cdot 2^{2x^2 + 2x} &=& 2^3
\end{eqnarray*}

ฝั่งซ้ายมือ ฐานเหมือนกันคูณกัน เราสามารถนำเลขชี้กำลังมาบวกกันได้

\begin{eqnarray*}
2^{-x + 2x^2 + 2x} &=& 2^3\\
2^{2x^2 + x} &=& 2^3
\end{eqnarray*}

[STEP]จับเลขชี้กำลังเท่ากันแล้วหาคำตอบ[/STEP]

ดังนั้นเราได้ว่า

\begin{eqnarray*}
2x^2 + x &=& 3\\
2x^2 + x - 3 &=& 0\\
(2x+3)(x-1) &=& 0\\
x &=& -\frac32 , 1
\end{eqnarray*}

[STEP]หาผลบวกของคำตอบ[/STEP]

ดังนั้น ผลบวกของคำตอบเท่ากับ

$$-\dfrac32 + 1 = -\dfrac12$$

[ANS]$-\dfrac12$[/ANS]