กำหนดเซต $A = \{ 1, 2, 3, ..., 9 \}$

ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มสับเซตของเซต $A$ ที่มีสมาชิก $4$ ตัว โดยไม่มี $9$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]นับจำนวนวิธีสร้างสับเซตที่มีสมาชิก $4$ แบบสุ่ม[/step]

จากเซต $A = \{ 1, 2, 3, ..., 9 \}$ มีสมาชิก $9$ ตัว ถ้าหากต้องสุ่มเลือกมาสร้างเป็นสับเซต ซึ่งสมาชิกภายในไม่มีลำดับต่อกัน จึงมีค่าเท่ากับการเลือกตัวเลข $1$ ถึง $9$ ซึ่งมี $9$ ตัว ออกมา $4$ ตัว มีจำนวนวิธีเท่ากับ $C_{9,4}$

\begin{eqnarray*}
C_{9,4} &=& \dfrac{9!}{4!5!}\\
&=& \dfrac{9\times 8\times 7 \times 6}{4\times 3 \times 2 \times 2}\\
&=& \dfrac{\bcancel{9}\times \cancel{8}\times 7 \times 6}{\cancel{4}\times \bcancel{3} \times \cancel{2} \times 1}\\
&=& \dfrac{3\times 7 \times 6}{1}\\
&=& 3\times 7 \times 6
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะเป็นจำนวนสมาชิกในแซมเปิ้ลสเปซของเรา $n(S) = 3\times 7 \times 6$

[step]นับจำนวนวิธีสร้างสับเซตขนาด $4$ โดยไม่มีเลข $9$[/step]

ถ้าไม่รวมเลข $9$ เราจะมีตัวเลขเหลือให้เลือกเพียง $8$ ตัว คือ $1$ ถึง $8$ ดังนั้นจึงสร้างสับเซตดังกล่าวได้เท่ากับ $C_{8,4}$

\begin{eqnarray*}
C_{8,4} &=& \dfrac{8!}{4!4!}\\
&=& \dfrac{8\times 7 \times 6 \times 5}{4\times 3 \times 2 \times 1}\\
&=& \dfrac{\cancel{8}\times 7 \times \bcancel{6} \times 5}{\cancel{4}\times \bcancel{3} \times \cancel{2} \times 1}\\
&=& \dfrac{7\times 2\times 5}{1}
\end{eqnarray*}

ซึ่งได้เป็นจำนวนสมาชิกในเซตเหตุการณ์ที่เราต้องการ $n(E) = 7\times 2 \times 5$

[step]คำนวณความน่าจะเป็น[/step]

\begin{eqnarray*}
P(E) &=& \dfrac{n(E)}{n(S)}\\
&=& \dfrac{7\times 2 \times 5}{3\times 7 \times 6}\\
&=& \dfrac{\bcancel{7}\times \cancel{2} \times 5}{3\times \bcancel{7} \times \cancelto{3}{6}}\\
&=& \dfrac{5}{3\times 3}\\
&=& \dfrac{5}{9}
\end{eqnarray*}

[ANS]$\dfrac59$[/ANS]