กำหนดสมการ $\displaystyle \log |x-2|^{(x-5)} = 0$

ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการนี้ตรงกับข้อใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]พิจารณาคำตอบของสมการในรูป $\displaystyle \log |x-2|^{(x-5)} = 0$[/step]

จากเงื่อนไขโดเมนของ $\log$ หลัง $\log$ ต้องเป็นบวกเสมอ ดังนั้น $|x-2|\neq0\qquad\cdots(1)$

เนื่องจากเราทราบว่ามีเพียง $1$ ค่าเดียวเท่านั้นที่ทำให้ $\log 1 = 0$ ดังนั้น $|x-2|^{(x-5)} = 1$ ซึ่งจะเกิดขึ้นได้ $3$ กรณี คือ

กรณีหนึ่ง $|x-2| = 1\qquad \cdots (2)$ ทำให้ยกกำลังด้วยอะไรก็แล้วแต่มีค่าออกมาเป็น $1$ หมด

กรณีสอง $(x-5)=0\qquad \cdots (3)$ โดยที่ไม่ทำให้ฐานเป็น $0$ $(|x-2|\neq 0)$ จะได้มีค่าออกมาเป็น $1$ หมดเช่นกัน

กรณีที่สาม $|x-2|=-1$ และ $(x-5)$ เป็นเลขคู่ กรณีนี้ไม่เกิดขึ้นจริงเพราะค่าสัมบูรณ์ $|x-2|$ ไม่มีทางติดลบ

[step]แก้สมการหาคำตอบแต่ละกรณี[/step]

แก้สมการ $|x-2|\neq0\qquad\cdots(1)$

\begin{eqnarray*}
|x-2| &\neq& 0\\
x &\neq & 2
\end{eqnarray*}

กรณีนี้จึงไม่มีคำตอบ แต่ถ้าหากพบว่ามี $2$ เป็นคำตอบ จะต้องตัดทิ้ง

แก้สมการ $|x-2|=1$

\begin{eqnarray*}
|x-2|^2 &=& 1^2\\
(x-2)^2 - 1^2 &=&0\\
(x-2-1)(x-2+1) &=&0\\
(x-3)(x-1) &=& 0
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $x=3,1$ เป็นคำตอบของ $\displaystyle \log |x-2|^{(x-5)} = 0$

แก้สมการ $(x-5)=0$ ซึ่งเห็นได้ง่ายว่า $x=5$ เป็นคำตอบของ $\displaystyle \log |x-2|^{(x-5)} = 0$ เช่นกัน

ดังนั้นเมื่อจับคำตอบทั้งหมดมารวมกัน จะได้ $3+1+5 = 9$

[ANS]$9$[/ANS]