กำหนดเวกเตอร์ $\vec{a} = 2 \vec{i} - \vec{j} + \vec{k}$ และ $\vec{b} \times \vec{c} = 3 \vec{i} + 2 \vec{j} - \vec{k}$

ค่าของ $(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]จัดรูป $(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$[/step]

จากที่เราทราบว่าเวกเตอร์ใดๆ เมื่อครอสกับเวกเตอร์ที่มีทิศทางขนานกันจะมีค่าเป็นเวกเตอร์ศูนย์ $\vec0$ ดังนั้นเวกเตอร์ใดๆ ครอสกับตัวเองย่อมต้องมีค่าเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์เช่นกัน หรือเขียนเป็นสูตรได้เป็น $\vec v \times \vec v = \vec 0$

กระจายผลครอส $\vec a \times \vec c$ เข้าไปในผลบวก $\vec a + \vec b + \vec c$ จะได้

$$\left( \vec a \times \vec c \right) \cdot \left( \vec a + \vec b + \vec c\right) = \left[ \left( \vec a \times \vec c \right) \cdot \vec a \right] + \left[ \left( \vec a \times \vec c \right) \cdot \vec b \right] + \left[ \left( \vec a \times \vec c \right) \cdot \vec c \right]$$

จากนั้นใช้สูตร $\left( \vec u \times \vec v \right) \cdot \vec w = \left( \vec v \times \vec w \right) \cdot \vec u$ ทุกๆ วงเล็บ $[\cdots]$ ซ้ายสุด และขวาสุดจะได้

\begin{eqnarray*}
&=& \left[ \left( \vec a \times \vec c \right) \cdot \vec a \right] + \left[ \left( \vec a \times \vec c \right) \cdot \vec b \right] + \left[ \left( \vec a \times \vec c \right) \cdot \vec c \right]$\\
&=& \left[ \left( \vec c \times \vec a \right) \cdot \vec a \right] + \left[ \left( \vec a \times \vec c \right) \cdot \vec b \right] + \left[\left( \vec c \times \vec c \right) \cdot \vec a \right]\\
&=& \left[ \left( \vec c \times \vec a \right) \cdot \vec a \right] + \left[ \left( \vec a \times \vec c \right) \cdot \vec b \right] + \left[\left( \vec 0 \right) \cdot \vec a \right]\\
&=& \left[ \left( \vec c \times \vec a \right) \cdot \vec a \right] + \left[ \left( \vec a \times \vec c \right) \cdot \vec b \right] + 0\\
\end{eqnarray*}

ใช้สูตรเดิมอีกครั้งกับวงเล็บ $[\cdots]$ ซ้ายสุด ก็จะได้ผลเช่นเดียวกัน คือ ทำให้วงเล็บนั้นมีผลดอทเป็น $0$

\begin{eqnarray*}
&=& \left[ \left( \vec c \times \vec a \right) \cdot \vec a \right] + \left[ \left( \vec a \times \vec c \right) \cdot \vec b \right] \\
&=& \left[ \left( \vec a \times \vec a \right) \cdot \vec c \right] + \left[ \left( \vec a \times \vec c \right) \cdot \vec b \right] \\
&=& 0 + \left[ \left( \vec a \times \vec c \right) \cdot \vec b \right] \\
&=&  \left( \vec a \times \vec c \right) \cdot \vec b
\end{eqnarray*}

[step]คำนวณ $ \left( \vec a \times \vec c \right) \cdot \vec b $[/step]

จากขั้นตอนที่แล้ว เราทราบว่าสิ่งที่โจทย์ถาม $(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$ มีค่าเท่ากับ  $ \left( \vec a \times \vec c \right) \cdot \vec b $ ซึ่งสามารถคำนวณได้ง่ายๆ จากเวกเตอร์ที่โจทย์กำหนดค่ามาให้แล้ว แต่ก่อนอื่นเราจะต้องใช้สูตร  $\left( \vec u \times \vec v \right) \cdot \vec w = \left( \vec v \times \vec w \right) \cdot \vec u$ เพื่อให้เกิดผลครอส $\vec b \times \vec c$ ก่อน

\begin{eqnarray*}
\left( \vec a \times \vec c \right) \cdot \vec b &=& \left( \vec c \times \vec b \right) \cdot \vec a\\
&=& \left( -\vec b \times \vec c \right) \cdot \vec a\\
&=& -\left( \vec b \times \vec c \right) \cdot \vec a
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าเราใช้สูตรสลับที่ผลครอส $\vec u \times \vec v = - \vec v \times \vec u$ ทำให้เกิด $\vec b \times \vec c$ ตรงกับที่โจทย์กำหนดมาให้แล้ว ดังนั้นจึงได้เวลาแทนค่า $\vec a = \begin{pmatrix}
2\\
-1\\
1\end{pmatrix}$ และ $\vec b \times \vec c = \begin{pmatrix}
3\\
2\\
-1\end{pmatrix}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
-\left(  \vec b \times \vec c \right) \cdot \vec a &=& - \begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\\
&=& - \Big( (3)(2)+(2)(-1)+(-1)(1) \Big)\\
&=& -3\\
\end{eqnarray*}

[ANS]$-3$[/ANS]