กำหนดให้ $\displaystyle A, B \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ โดยที่ $\tan A = 2$ และ $\tan B = 3$

ข้อใดคือค่าของ $A+B$

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]ประมาณค่าหาช่วงที่เล็กที่สุดของ $A+B$[/step]

เนื่องจาก $\tan$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มแบบหนึ่งต่อหนึ่งในช่วง $\left( 0 ,\dfrac{\pi}{2} \right)$ การที่ $\tan A = 2 $ และ $\tan B =3$ ต่างก็มีค่ามากกว่า $\tan \dfrac{\pi}{4} = 1$ จึงทำให้เราทราบว่า $A>\dfrac{\pi}{4}$ และ $B>\dfrac{\pi}{4}$

เนื่องจาก $A,B\in \left( 0 , \dfrac{\pi}{2} \right)$ เราจึงทราบว่าทั้ง $A$ และ $B$ ต่างต้องมีค่าไม่เกิน $\dfrac{\pi}{2}$ ดังนั้นช่วงของค่าที่เป็นไปได้ของทั้ง $A$ และ $B$ คือ

\begin{eqnarray*}
\frac{\pi}{4} &< A &< \frac{\pi}{2}\\
\frac{\pi}{4} &< B &< \frac{\pi}{2}
\end{eqnarray*}

เมื่อจับบวกกัน จึงได้

$$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4} < A+B < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$$

หรือ

$$\dfrac{\pi}{2} < A+B < \pi$$

ซึ่งมีเพียงช้อยส์เดียวที่มีค่าอยู่ในช่วงนี้ คือ $\dfrac{3\pi}{4}$

[ANS]$\dfrac{3 \pi}{4}$[/ANS]

โจทย์ข้อนี้สามารถใช้สูตรผลบวกแทน $\tan\left( A +B \right) = \dfrac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ หาคำตอบได้โดยง่ายเช่นกัน คือ

\begin{eqnarray*}
\tan \left( A+B \right) &=&\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \\
&=& \frac{2+3}{1-(2)(3)}\\
&=& -1
\end{eqnarray*}

เมื่อเราทราบว่า $\tan \left(A+B\right) = -1$ และ $0 < A+B <\pi$ แล้ว เราจึงแน่ใจว่า $A+B = \arctan (-1) = \frac{3\pi}{4}$