กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย $18$ และ $24$ แล้วเหลือเศษ $2$

ค่าของ $n$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]สร้างสมการตัวคูณของ $n$ กับ $18$ และ $24$[/step]

โจทย์บอกว่า $n$ หารด้วย $18$ แล้วเหลือเศษ $2$ เขียนเป็นสมการได้เป็น

$$n=18p+2$$

โดยที่ $p$ เป็นเต็มบวกหรือ $0$

ทำนองเดียวกัน $n$ หารด้วย $24$ แล้วเหลือเศษ $2$ จะได้สมการ

$$n=24q+2$$

โดยที่ $q$ เป็นจำนวนเต็มบวกหรือ $0$

[step]หาค่า $n$ น้อยสุด[/step]

จากทั้งสองสมการ ซึ่งต่างก็เท่ากับ $n$ จะได้ว่า 

\begin{eqnarray*}
18p+2 &=& 24q+2\\
18p &=& 24q
\end{eqnarray*}

หารด้วย ห.ร.ม. ของ $18$ กับ $24$ ซึ่งก็คือ $6$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{\bcancel{18}p}{\bcancel{6}} &=& \frac{\cancel{24}q}{\cancel{6}}\\
3p &=& 4q
\end{eqnarray*}

เราจึงได้ความสัมพันธ์ $3p = 4q$ โดยที่ $n=18p+2 = 24q+2$ ซึ่งจะเห็นว่ายิ่ง $p$ หรื $q$ มีค่ามาก ก็ยิ่งทำให้ $n$ มีค่ามากตามไปด้วย เราจึงพยายามหาค่า $p$ และ $q$ ที่มีค่าเป็นบวก แต่มีค่าน้อยๆ เพื่อให้ $n$ มีค่าน้อยสุดตามที่โจทย์ถาม ซึ่งจากสมการ $3p = 4q$ จะมีค่า $p,q$ น้อยสุดเป็น $p=4$ และ $q=3$  สลับตัวเลขกันนั่นเอง

ดังนั้น แทนค่า $n=4$ ลงใน $n=18p+2$ จะได้

\begin{eqnarray*}
n &=& 18p+2\\
&=& 18(4)+2\\
&=& 74
\end{eqnarray*}

ซึ่ง $n=74$ อยู่ในช่วง $[73,77]$

[ANS]$[73, 77]$[/ANS]