กำหนดลำดับ $\displaystyle a_n = \frac{(3+2n)^{13} (5+n)^2}{(1-2n)^{15}}$

ค่าของ $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]พิจารณาดีกรีของตัวเศษและส่วนของ $a_n$[/step]

จาก $\displaystyle a_n = \frac{(3+2n)^{13} (5+n)^2}{(1-2n)^{15}}$ ตัดพจน์ที่ไม่มีพหุนาม $n$ ทิ้งไปจะเหลือเพียง

\begin{eqnarray*}
\dfrac{(0+2n)^{13}(0+n)^2}{(0-2n)^{15}} &=& \dfrac{(2n)^{13}(n)^2}{(-2n)^{15}}\\
&=& \dfrac{2^{13}n^13n^2}{(-2)^{15}n^{15}}\\
&=& \dfrac{2^{13}}{(-2)^{15}}\cdot \dfrac{n^{13}n^2}{n^{15}}\\
&=& -2^{13-15} \cdot \dfrac{n^{15}}{n^{15}}\\
&=& -2^{-2}\cdot \dfrac{n^{15}}{n^{15}}\\
\end{eqnarray*}

พบว่าดีกรีของตัวเศษและตัวส่วนของ $a_n$ เท่ากันพอดี ทำให้เราทราบว่า $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n$ มีค่าเท่ากับสัมประสิทธิ์จากการคำนวณข้างบน นั่น คือ $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = -2^{-2} = -\dfrac{1}{4}$

[ANS]$-\dfrac14$[/ANS]