กำหนดพหุนาม $P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c$ โดยที่ $a, b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริง

ถ้า $x+1, x+2$ และ $x+3$ เป็นตัวประกอบของ $P(x)$ แล้ว ข้อใดคือค่าของ $a+b+c$

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]สร้างพหุนาม $P(x)$ ในรูปผลคูณของตัวประกอบ[/step]

โจทย์บอกว่า $P(x)$ มี $x+1$, $x+2$ และ $x+3$ เป็นตัวประกอบ แสดงว่า $P(x)$ ซึ่งมีดีกรี $3$ พอดีจะต้องอยู่ในรูปผลคูณ

$$P(x)=d(x+1)(x+2)(x+3)$$

โดยที่ $d$ เป็นค่าคงตัว

แต่จากข้อมูลที่โจทย์ให้มาว่าสัมประสิทธิ์ของพจน์ดีกรีสูงสุดของ $P(x)$ คือ $2$ (จาก $P(x)=\bf{2}x^3+ax^2+bx+c$) ทำให้เราทราบทันทีว่า $d$ ก็คือ $2$ นั่นเอง ดังนั้น

$$P(x)=2(x+1)(x+2)(x+3)$$

[step]หาค่า $a+b+c$[/step]

เมื่อเราทราบว่า $P(x)=2(x+1)(x+2)(x+3)$ แล้ว โดยปรกติเราสามารถที่จะคูณกระจายเพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์ $a,b$ และ $c$ ได้เช่นกัน แต่วิธีที่ง่ายกว่า คือ การแทนค่า $x=1$ ลงใน $P(x)$ ซึ่งจะเห็นว่า ถ้าแทนลงใน $P(x)$ ตัวที่โจทย์ให้มา จะได้

\begin{eqnarray*}
P(1) &=& 2(1)^3 + a(1)^2 + b(1) + c\\
&=& 2 + a + b + c
\end{eqnarray*}

ซึ่งเกิดผลบวก $a+b+c$ ที่โจทย์ต้องการพอดี ดังนั้นเราจึงแทนค่า $x=1$ ลงใน $P(x)$ ที่เราสร้างจากผลคูณขึ้นมาด้วย จะได้

\begin{eqnarray*}
P(1) &=& 2(1+1)(1+2)(1+3)\\
&=& 2(2)(3)(4)\\
&=& 48
\end{eqnarray*}

จากนั้นจับ $P(1)$ ทั้งสองตัวเท่ากัน จะได้

\begin{eqnarray*}
2+a+b+c &=& 48\\
a+b+c &=& 48-2\\
&=& 46
\end{eqnarray*}

[ANS]$46$[/ANS]