,

โจทย์บอกว่า $P(x)$ มี $x+1$, $x+2$ และ $x+3$ เป็นตัวประกอบ แสดงว่า $P(x)$ ซึ่งมีดีกรี $3$ พอดีจะต้องอยู่ในรูปผลคูณ

$$P(x)=d(x+1)(x+2)(x+3)$$

โดยที่ $d$ เป็นค่าคงตัว

แต่จากข้อมูลที่โจทย์ให้มาว่าสัมประสิทธิ์ของพจน์ดีกรีสูงสุดของ $P(x)$ คือ $2$ (จาก $P(x)=\bf{2}x^3+ax^2+bx+c$) ทำให้เราทราบทันทีว่า $d$ ก็คือ $2$ นั่นเอง ดังนั้น

$$P(x)=2(x+1)(x+2)(x+3)$$

,

เมื่อเราทราบว่า $P(x)=2(x+1)(x+2)(x+3)$ แล้ว โดยปรกติเราสามารถที่จะคูณกระจายเพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์ $a,b$ และ $c$ ได้เช่นกัน แต่วิธีที่ง่ายกว่า คือ การแทนค่า $x=1$ ลงใน $P(x)$ ซึ่งจะเห็นว่า ถ้าแทนลงใน $P(x)$ ตัวที่โจทย์ให้มา จะได้

$$\begin{eqnarray*} P(1) &=& 2(1)^3 + a(1)^2 + b(1) + c\\ &=& 2 + a + b + c \end{eqnarray*}$$

ซึ่งเกิดผลบวก $a+b+c$ ที่โจทย์ต้องการพอดี ดังนั้นเราจึงแทนค่า $x=1$ ลงใน $P(x)$ ที่เราสร้างจากผลคูณขึ้นมาด้วย จะได้

$$\begin{eqnarray*} P(1) &=& 2(1+1)(1+2)(1+3)\\ &=& 2(2)(3)(4)\\ &=& 48 \end{eqnarray*}$$

จากนั้นจับ $P(1)$ ทั้งสองตัวเท่ากัน จะได้

$$\begin{eqnarray*} 2+a+b+c &=& 48\\ a+b+c &=& 48-2\\ &=& 46 \end{eqnarray*}$$