กำหนดให้ $$f(x)=x^3+3ax^2-9a^2x+5a$$ โดยที่ $a$  เป็นจำนวนจริงบวก

ถ้า $f$ มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ $0$ แล้ว $a$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หาค่าวิกฤตของ $f$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
f(x) &=& x^3+3ax^2-9a^2x+5a\\
f'(x) &=& 3x^{3-1} + 2(3)ax^{2-1} - 9a^2x^{1-1}+0\\
&=& 3x^2 + 6ax - 9a^2
\end{eqnarray*}

หาค่าวิกฤตโดยให้ $c$ แทนค่าวิกฤต จะได้ว่า $f'(c)=0$

\begin{eqnarray*}
f'(c) &=& 0\\
3c^2 + 6ac - 9a^2 &=& 0\\
c^2 + 2ac - 3a^2 &=& 0\\
(c-a)(c+3a) &=& 0\\
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $c=a$ หรือ $c=-3a$

ดังนั้น ค่าวิกฤตของ $f$ คือ $a$ และ $-3a$

[STEP]ตรวจสอบค่าวิกฤต[/STEP]

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& 3x^2 + 6ax - 9a^2\\
f''(x) &=& 6x + 6a
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $a>0$ ดังนั้น

$\displaystyle f''(a) = 6a + 6a = 12a >0$ แสดงว่า $a$ ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

[STEP]หาค่า $a$ จากสมการ $f(a)=0$[/STEP]

เนื่องจาก $f(a)$ คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
f(a) &=& 0\\
a^3 + 3a(a^2)-9a^2(a)+5a &=& 0\\
a^3 + 3a^3 - 9a^3 + 5a &=& 0\\
-5a^3 + 5a &=& 0
\end{eqnarray*}

หารตลอดทั้งสมการด้วย $-5$ แล้วดึงตัวร่วม $a$ ออก

\begin{eqnarray*}
a^3 - a &=& 0\\
a(a+1)(a-1) &=& 0\\
a &=& -1, 0, 1
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $a$ เป็นจำนวนจริงบวก จะได้ว่า $a=1$

[ANS] $1$ [/ANS]