กำหนดให้ $A$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $3\times3$ โดยที่ $A=\left[a_{ij}\right]_{3\times3}$ และ $\det{A}=10$

ถ้า $$B=\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\2a_{11}&2a_{12}&2a_{13}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right]$$

แล้ว $\det\left(A+B\right)$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณ $A+B$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
A + B &=& \left[ \begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array} \right] + \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\2a_{11}&2a_{12}&2a_{13}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right]\\
&=& \left[ \begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}+2a_{11}&a_{22}+2a_{12}&a_{23}+2a_{13}\\2a_{31}&2a_{32}&2a_{33}\end{array} \right]
\end{eqnarray*}

[STEP]หาดีเทอร์มิแนนต์[/STEP]

ใช้ Row Operation เพื่อจัดรูปเมทริกซ์ โดยทำให้แถวที่ 2 ซับซ้อนน้อยลง

สังเกตเห็นว่า ในแถวที่ 2 นั้น มีสมาชิกในแถวที่ 1 คือ $a_{11} , a_{12} , a_{13}$ อยู่ด้วย สามารถกำจัดได้โดย

\begin{eqnarray*}
\left[ \begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}+2a_{11}&a_{22}+2a_{12}&a_{23}+2a_{13}\\2a_{31}&2a_{32}&2a_{33}\end{array} \right] &\overset{R_2-2R_1}\longrightarrow& &\left[ \begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\2a_{31}&2a_{32}&2a_{33}\end{array} \right]\\
\end{eqnarray*}

ซึ่งจากสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ไม่เปลี่ยนแปลง

จากนั้น ใช้สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ ดึง $2$ ออกจากแถวที่ 3

\begin{eqnarray*}
\left| \begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\2a_{31}&2a_{32}&2a_{33}\end{array} \right| &=& 2 \left| \begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array} \right|\\
&=& 2 \left| A \right|\\
&=& 2(10)\\
&=& 20
\end{eqnarray*}

[ANS] $20$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ดีเทอร์มิแนนต์และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ การดำเนินการตามแถว