กำหนดให้ $\theta$ เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ $\vec{u}$ กับ เวกเตอร์ $\vec{v}$

โดยที่ $\vec{u}\cdot \vec{v}=\sqrt 3$ และ $\left|\vec{u}\times\vec{v}\right|=1$ 

แล้ว $\sin^2\theta$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

จาก $\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{3}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\vec{u} \cdot \vec{v} &=& \left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| \cos \theta\\
\left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| \cos \theta &=& \sqrt{3}          \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;...(1)
\end{eqnarray*}

จาก $\left|\vec{u}\times\vec{v}\right|=1$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left|\vec{u}\times\vec{v}\right| &=& \left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| \sin \theta\\
\left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| \sin \theta &=& 1          \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;...(2)
\end{eqnarray*}

ทั้งสองสมการมี $\left| \vec{u} \right|$ และ $\left| \vec{v} \right|$ เหมือนกัน สามารถกำจัดให้เหลือแต่ $\theta$ ได้

ให้ $\displaystyle \frac{(2)}{(1)}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{\cancel{\left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right|} \sin \theta}{\cancel{\left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right|} \cos \theta} &=& \frac{1}{\sqrt{3}}\\
\frac{\sin \theta}{\cos \theta} &=& \frac{1}{\sqrt{3}}\\
\tan \theta &=& \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{eqnarray*}

เนื่องจากมุมระหว่างเวกเตอร์มีขนาดไม่เกิน $180^o$ จะได้ว่า $\displaystyle \theta = 30^o$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\sin^2{\theta} &=& \sin^2{30^o}\\
&=& \left( \frac{1}{2} \right)^2\\
&=& \frac{1}{4}\\
&=& 0.25
\end{eqnarray*}

[ANS] $0.25$ [/ANS]