ถ้า ${\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}i^{k}}$ เมื่อ $i$ คือ จำนวนเชิงซ้อนซึ่ง $i^2=-1$ 

แล้วจำนวนนับ $n\in\left\{10,11,12,\cdots,100\right\}$ ที่ทำให้ $S_n=-1$

มีจำนวนทั้งหมดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาผลบวกของ $i$[/STEP]

จาก

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = (i^2)i = -i$

$i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$

$i^5 = (i^4) i = i$

$i^6 = (i^4) i^2 = -1$

$i^7 = (i^4) i^3 = -i$

$i^8 = (i^4)^2 = 1$

$\vdots$

จะได้ว่า ถ้าจับเป็นกลุ่มคราวละ $4$ อันดับ จะได้ผลบวกเป็น $0$ ดังนี้

$i + i^2 + i^3 + i^4 = i + (-1) + (-i) + 1 = 0$

$i^5 + i^6 + i^7 + i^8 = i + (-1) + (-i) + 1 = 0$

$i^9 + i^{10} + i^{11} + i^{12} = i + (-1) + (-i) + 1 = 0$

$\vdots$

แต่หากจับกลุ่มคราวละ $3$ อันดับ ต่อจาก $4$ อันดับข้างต้น จะได้ผลบวกเป็น $-1$ ดังนี้

$i + i^2 + i^3  = i + (-1) + (-i)  = -1$

$i + i^2 + i^3 + i^4 + i^5 + i^6 + i^7 = 0 + i^5 + i^6 + i^7 = i + (-1) + (-i) = -1$

$i + i^2 + i^3 + i^4 + i^5 + i^6 + i^7 + i^8 + i^9 + i^{10} + i^{11} = 0 + 0 + i^9 + i^{10} + i^{11} = i + (-1) + (-i) = -1$

$\vdots$

นั่นคือ หาก $n$ เป็นจำนวนนับที่หารด้วย $4$ ลงตัว จะได้ $S_n = 0$

และหาก $n$ เป็นจำนวนนับที่หารด้วย $4$ แล้วเหลือเศษ $3$ จะได้ $S_n = -1$

[STEP]หา $n$ ที่เป็นไปได้[/STEP]

เนื่องจาก $n\in\left\{10,11,12,\cdots,100\right\}$

จะได้ว่าจำนวนที่หารด้วย $4$ แล้วเหลือเศษ $3$ คือ $11, 15, 19, \ldots, 99$

เป็นลำดับเลขคณิต มีพจน์แรกเป็น $11$ ผลต่างร่วมเป็น $4$ และพจน์ที่ $n$ คือ $99$

หาจำนวนพจน์ จะได้

\begin{eqnarray*}
a_n &=& a_1 + (n-1)d\\
99 &=& 11 + (n-1)(4)\\
88 &=& (n-1)(4)\\
22 &=& n-1
\end{eqnarray*}

ดังนั้น มีจำนวนนับ $n$ ทั้งหมด $23$ จำนวน ที่ทำให้ $S_n = -1$

 

[ANS] $23$ [/ANS]