กำหนดให้ $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$ เป็นลำดับเรขาคณิต ซึ่งมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ $r$ โดยที่ $0<r<1$ 

ถ้า $G_n=\left(a_1a_2a_3\cdots a_n\right)^{\frac{1}{n}}$ แล้ว $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}G_n$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณา $G_n$[/STEP]

$\displaystyle G_1 = (a_1)^\frac{1}{1} = a_1$

$\displaystyle G_2 = (a_1 a_2)^\frac{1}{2} = \sqrt{a_1 a_2}$

แทน $a_2 = a_1 r$ จะได้

\begin{eqnarray*}
G_2 &=& \sqrt{(a_1) (a_1 r)}\\
&=& \sqrt{(a_1)^2 r}\\
&=& a_1 \sqrt{r}
\end{eqnarray*}

$\displaystyle G_3 = (a_1 a_2 a_3)^\frac{1}{3} = \sqrt[3]{a_1 a_2 a_3}$

แทน $a_2 = a_1 r$ และ $a_3 = a_1 r^2$ จะได้

\begin{eqnarray*}
G_3 &=& \sqrt[3]{(a_1) (a_1 r) (a_1 r^2)}\\
&=& \sqrt[3]{(a_1)^3 r^3}\\
&=& a_1 r
\end{eqnarray*}

$\displaystyle G_4 = (a_1 a_2 a_3 a_4)^\frac{1}{4} = \sqrt[4]{a_1 a_2 a_3 a_4}$

แทน $a_2 = a_1 r , a_3 = a_1 r^2$ และ $a_4 = a_1 r^3$ จะได้

\begin{eqnarray*}
G_4 &=& \sqrt[4]{(a_1) (a_1 r) (a_1 r^2) (a_1 r^3)}\\
&=& \sqrt[3]{(a_1)^4 r^6}\\
&=& a_1 r \sqrt[4]{r^2}\\
&=& a_1 r \sqrt{r}
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}G_n$[/STEP]

จาก $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}G_n = G_1 + G_2 + G_3 + G_4 + \ldots$

จะได้ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}G_n = a_1 + a_1 \sqrt{r} + a_1 r + a_1 r \sqrt{r} + \ldots$

ซึ่งก็คืออนุกรมเรขาคณิตอนันต์ที่มีพจน์แรกเป็น $a_1$ และอัตราส่วนร่วมเป็น $\sqrt{r}$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{\infty}G_n &=& \frac{a_1}{1-r}\\
&=& \frac{a_1}{1-\sqrt{r}}\\
&=& \frac{a_1}{1-r^\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}

[ANS] $\dfrac{a_1}{1-r^{\frac12}}$ [/ANS]

น้องๆ อาจจะใช้วิธีหารูปทั่วไปของ $G_n$ ก่อนโดยการแทนแต่ละพจน์ของลำดับเรขาคณิตในรูป $a_n = a_1r^{n-1}$ ได้เลย คือ

\begin{eqnarray*}
G_{n} & = & \left[a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}\right]^{\frac{1}{n}}\\
 & = & \left[\left(a_{1}\right)\left(a_{1}r\right)\left(a_{1}r^{2}\right)\cdot\cdots\cdot\left(a_{1}r^{n-1}\right)\right]^{\frac{1}{n}}\\
 & = & \left[a_{1}^{n}\left(r^{1+2+3+\cdots+\left(n-1\right)}\right)\right]^{\frac{1}{n}}\\
 & = & \left[a_{1}^{n}\left(r^{\frac{\left(n-1\right)n}{2}}\right)\right]^{\frac{1}{n}}\\
 & = & a_{1}r^{\frac{n-1}{2}}
\end{eqnarray*}

จากนั้นหาค่า $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_1 r^{\frac{n-1}{2}}$ ก็จะได้ค่าเท่ากันกับวิธีด้านบน