กำหนดให้ $A$ และ $B$ เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน โดยที่

\begin{array}{cclc}
A&=&\left\{z\mid\operatorname{Im}\left(z-2i\right)+\left[\operatorname{Re}\left(z\right)\right]^2\leq0\right\}&\text{ และ }\\
B&=&\left\{z\mid\operatorname{Im}z\geq0\right\}
\end{array}

แล้ว พื้นที่ของบริเวณ $A\cap B$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาเซต $A$[/STEP]

ให้ $z=x+yi$ ดังนั้น จากเซต $A$ จะได้ว่า

$\displaystyle \operatorname{Im}\left(z-2i\right) = \operatorname{Im}\left(x+yi-2i\right) = \operatorname{Im}\left(x+(y-2)i\right) = y-2$

$\displaystyle \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x+yi) = x$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\operatorname{Im}\left(z-2i\right)+\left[\operatorname{Re}\left(z\right)\right]^2 &\leq& 0\\
(y-2) + x^2 &\leq& 0\\
x^2 + y - 2 &\leq& 0\\
y &\leq& -x^2 + 2
\end{eqnarray*}

พิจารณาสมการ $\displaystyle y = -x^2 + 2$

เป็นกราฟพาราโบลาคว่ำมีจุดยอดที่

$\displaystyle x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{-2} = 0$ และ

$\displaystyle y = -0^2 + 2 = 2$

นั่นคือ จุดยอดเป็น $(0, 2)$ หาจุดตัดแกน $X$ ให้ $y=0$

\begin{eqnarray*}
0 &=& -x^2 + 2\\
x^2 &=& 2\\
x &=& \sqrt{2}, -\sqrt{2}
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า กราฟตัดแกน $X$ ที่จุด $\displaystyle (\sqrt{2}, 0)$ และ $\displaystyle (-\sqrt{2}, 0)$

วาดกราฟได้ดังนี้

เนื่องจากต้องการกราฟของอสมการ $\displaystyle y \leq -x^2 + 2$ จึงได้เป็นพื้นที่แรเงาดังนี้


 

[STEP]พิจารณาเซต $B$[/STEP]

จาก $z = x+yi$ จะได้ว่า $\operatorname{Im}(z) = y$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\operatorname{Im}(z) &\geq& 0\\
y &\geq& 0
\end{eqnarray*}

นั่นคือพื้นที่เหนือแกน $X$ ทั้งหมด

[STEP]หาพื้นที่ $A\cap B$[/STEP]

เมื่อวาดพื้นที่ของเซต $A$ และ $B$ บนระบบพิกัดฉากเดียวกัน จะได้

อินเตอร์เซคกัน เลือกพื้นที่ส่วนที่ซ้อนทับกัน นั่นคือ

ซึ่งก็คือพื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง $y = -x^2 + 2$ จาก $x = -\sqrt{2}$ ถึง $x = \sqrt{2}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
Area &=& \int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-x^2 + 2) dx\\
&=& \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\\
&=& \left( -\frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2} \right) - \left( \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 \sqrt{2} \right)\\
&=& -\frac{4 \sqrt{2}}{3} + 4 \sqrt{2}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น พื้นที่ปิดล้อมเท่ากับ $\displaystyle \frac{8 \sqrt{2}}{3}$

 

 

 

[ANS] $\dfrac{8\sqrt2}{3}$ [/ANS]

การวาดกราฟพาราโบลาที่มี $x^2$ หากใช้วิธีหาจุดยอดด้วย $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ และพิจารณาสัมประสิทธิ์หน้า $x^2$ ว่าเป็นกราฟคว่ำหรือหงาย จะทำได้ง่ายและเร็วกว่าการใช้ภาคตัดกรวย