กำหนดให้ $S=\left\{\left[a_{ij}\right]_{3\times3}\mid a_{ij}\in\left\{-1,1\right\}\right\}$ ถ้าสุ่มหยิบเมทริกซ์จากเซต $S$ มา $1$ เมทริกซ์

แล้วความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์ซึ่งมีผลรวมของสมาชิกทั้งหมดเท่ากับ $3$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]หาร $n(S)$[/STEP]

พิจารณาเมทริกซ์ $\displaystyle A = [a_{ij}]_{3 \times 3}$ นั่นคือ

$A = \left[\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{array}\right]$

จะเห็นว่าเมทริกซ์ $A$ มีสมาชิก $9$ ตำแหน่ง แต่ละตำแหน่งสามารถเลือกใส่สมาชิกได้ $2$ วิธี คือ $1$ หรือ $-1$

ดังนั้น จึงมีวิธีสร้างเมทริกซ์ $A$ ได้ทั้งหมด $\displaystyle 2^9$ วิธี

[STEP]หา $n(E)$[/STEP]

ต้องการให้ผลรวมของสมาชิกทั้งหมดเป็น $3$ แสดงว่าต้องมี $1$ อยู่ $6$ ตำแหน่ง และมี $-1$ อยู่ $3$ ตำแหน่ง

เลือกตำแหน่งสมาชิกให้เป็น $1$ จำนวน $6$ ตำแหน่ง จากทั้งหมด $9$ ตำแหน่ง ได้เท่ากับ

\begin{eqnarray*}
\binom{9}{6} &=& \frac{9!}{6!3!}\\
&=& \frac{9 \times 8 \times 7 \times \cancel{6!}}{\cancel{6!}3!}\\
&=& \frac{\cancelto{12}{72} \times 7}{\cancel{6}}\\
&=& 12 \times 7
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $P(E)$[/STEP]

ดังนั้น ความน่าจะเป็นคือ

\begin{eqnarray*}
P(E) &=& \frac{n(E)}{n(S)}\\
&=& \frac{12 \times 7}{2^9}\\
&=& \frac{\cancelto{3}{12} \times 7}{\cancel{4} \times 2^7}\\
&=& \frac{21}{2^7}
\end{eqnarray*}

 

 

[ANS] $\dfrac{21}{2^7}$ [/ANS]