กำหนดให้ $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$ เป็นลำดับเลขคณิต ซึ่ง $a_1=4$ , $a_2=7$ , $a_n=121$  ถ้า

$$f(x)=\left(x+a_1 x\right)+\left(x^2+a_2 x\right)+\left(x^3+a_3 x\right)+\cdots+\left(x^n+a_n x\right)$$

แล้ว $f'\left(-1\right)$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]หา $n$[/STEP]

จาก $a_1=4$ และ $a_2=7$ จะได้ $d = 3$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
a_n &=& a_1 + (n-1)d\\
121 &=& 4 + (n-1)(3)\\
117 &=& (n-1)(3)\\
39 &=& n-1
\end{eqnarray*}

นั่นคือ $n = 40$

[STEP]หา $f'(x)$[/STEP]

จาก $n=40$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f(x) &=& \left(x+a_1 x\right)+\left(x^2+a_2 x\right)+\left(x^3+a_3 x\right)+\ldots+\left(x^{40}+a_{40} x\right)\\
&=& (1 + a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{40}) x + x^2 + x^3 + x^4 + \ldots + x^{40}\\
f'(x) &=& (1 + a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{40}) + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots + 40x^{39}
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{40}$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
S_n &=& \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\
S_{40} &=& \frac{40}{2}(4 + 121)\\
&=& 20(125)\\
&=& 2500
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $f'(-1)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& (1 + 2500) + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots + 40x^{39}\\
f'(-1) &=& 2500 + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - \ldots - 40\\
&=& 2500 + (1 - 2 + 3 - 4 + \ldots -40)\\
&=& 2500 + (1 + 3 + 5 + \ldots + 39) + (-2 - 4 - 6 - \ldots -40)
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $1 + 3 + 5 + \ldots + 39$ มี 20 พจน์ จะได้

\begin{eqnarray*}
1+3+5+ \ldots +39 &=& \frac{20}{2}(1 + 39)\\
&=& 10(40)\\
&=& 400
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $-2 - 4 - 6 - \ldots - 40$ มี 20 พจน์ จะได้

\begin{eqnarray*}
-2-4-6- \ldots -40 &=& \frac{20}{2}(-2 - 40)\\
&=& 10(-42)\\
&=& -420
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
f'(-1) &=& 2500 + 400 + (-420)\\
&=& 2500 - 20\\
&=& 2480
\end{eqnarray*}

 

[ANS] $2480$ [/ANS]

จาก

$f\left(x\right)=\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{40}\right)x+\left(x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots+x^{40}\right)$

ข้อนี้เราสามารถหาผลรวมของ $x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots+x^{40}$ ให้เสร็จก่อนที่จะคำนวณ $f'(x)$ ได้โดยเราจะใช้สูตรผลรวมอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วม $r=x$ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots+x^{40} & = & \frac{a_{1}-a_{\text{ถัดจากตัวสุดท้าย}}}{1-r}\\
 & = & \frac{x-x^{41}}{1-x}
\end{eqnarray*}

ดังนั้นเราจะได้

$$f\left(x\right)=\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{40}\right)x+\dfrac{x-x^{41}}{1-x}$$

จากนั้นคำนวณอนุพันธ์ $f'(x)$ โดยต้องใช้สูตรผลหารกับพจน์หลัง

\begin{eqnarray*}
f'\left(x\right) & = & \left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{40}\right)+\dfrac{\left(1-x\right)\dfrac{d}{dx}\left(x-x^{41}\right)-\left(x-x^{41}\right)\dfrac{d}{dx}\left(1-x\right)}{\left(1-x\right)^{2}}\\
 & = & \left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{40}\right)+\frac{\left(1-x\right)\left(1-41x^{40}\right)-\left(x-x^{41}\right)\left(-1\right)}{\left(1-x\right)^{2}}\\
 & = & \left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{40}\right)+\frac{\left(1-x\right)\left(1-41x^{40}\right)+\left(x-x^{41}\right)}{\left(1-x\right)^{2}}
\end{eqnarray*}

และเมื่อนำ $f'(x)$ มาแทนค่า $x=-1$ เพื่อคำนวณ $f'(-1)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f'\left(-1\right) & = & \left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{40}\right)+\frac{\left(1-\left(-1\right)\right)\left(1-41\left(-1\right)^{40}\right)+\left(-1-\left(-1\right)^{41}\right)}{\left(1-\left(-1\right)\right)^{2}}\\
 & = & \left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{40}\right)+\dfrac{\left(2\right)\left(1-41\right)+\left(-1+1\right)}{\left(2\right)^{2}}\\
 & = & \left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{40}\right)+\frac{-80}{4}\\
 & = & \left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{40}\right)-20
\end{eqnarray*}

แล้วจึงไปคำนวณค่าของ $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{40}$ ตามปรกติ ซึ่งจะได้ $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{40}=2500$ จากนั้นแทนค่าลงไปใน $f'(-1)$ จะได้

$$f'\left(-1\right)=2500-20=2480$$

ซึ่งได้คำตอบเท่ากันกับวิธีในเฉลยละเอียด