กำหนดให้เส้นตรง $2y=3x+2$ สัมผัสกราฟของ $y=f(x)$ ที่จุด $(0,1)$ 

แล้ว ${\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{f(x)-1}{x}}$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาลิมิต[/STEP]

เนื่องจากกราฟ $y = f(x)$ ผ่านจุด $(0, 1)$ หมายความว่า $f(0)=1$

จะได้

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{f(x)-1}{x} &=& \lim_{x\rightarrow0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}\\
&=& \lim_{x\rightarrow0}\dfrac{f(0+x)-f(0)}{x}
\end{eqnarray*}

ซึ่งก็คือนิยามของ $f'(0)$

[STEP]หา $f'(0)$[/STEP]

เนื่องจาก $f'(0)$ หมายถึงความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด $x=0$

จะได้ว่า $f'(0)$ เท่ากับความชันของเส้นตรง $2y=3x+2$

\begin{eqnarray*}
2y &=& 3x + 2\\
y &=& \frac{3}{2}x + 1
\end{eqnarray*}

นั่นคือ ความชันเท่ากับ $\displaystyle \frac{3}{2}$

ดังนั้น $f'(0) = \dfrac{3}{2}$

 

 

[ANS] $\dfrac32$ [/ANS]