คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ และมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ $10$ ถ้านักเรียนที่สอบได้คะแนนน้อยกว่า $40$ คะแนน มี $33\%$ แล้วนักเรียนที่สอบได้คะแนน ระหว่าง $50$ คะแนน ถึง $60$ คะแนน มีจำนวนทั้งหมดกี่เปอร์เซ็นต์

เมื่อกำหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติดังนี้

$z$ $0.44$ $0.56$ $1.44$ $1.56$ $1.7$ $2.44$
พื้นที่ใต้เส้นโค้ง $0.1700$ $0.2123$ $0.4251$ $0.4406$ $0.4554$ $0.4927$

 

เฉลยละเอียด

[STEP]หา $\overline{x}$[/STEP]

มีนักเรียนสอบได้คะแนนน้อยกว่า $40$ คะแนน อยู่ $33 \%$ สามารถเขียนเส้นโค้งปกติได้ดังนี้

จะได้ว่าพื้นที่ใต้เส้นโค้งเมื่อวัดจาก $z=0$ มายัง $x=40$ เท่ากับ $0.17$

จากตารางจะได้ว่า ถ้าพื้นที่เป็น $0.17$ แล้ว $z=0.44$ แต่เนื่องจากอยู่ทางซ้ายมือของ $z=0$

ดังนั้น $x=40$ มีคะแนนมาตรฐาน $z=-0.44$

จะได้

\begin{eqnarray*}
z &=& \frac{x - \overline{x}}{SD}\\
-0.44 &=& \frac{40 - \overline{x}}{10}\\
-4.4 &=& 40 - \overline{x}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $\overline{x} = 40 + 4.4 = 44.4$

[STEP]หาคะแนนมาตรฐานของ $x=50$ และ $x=60$[/STEP]

จาก $\displaystyle z = \frac{x - \overline{x}}{SD}$

$x=50$ คะแนน จะได้

\begin{eqnarray*}
z &=& \frac{50 -  44.4}{10}\\
&=& \frac{5.6}{10}\\
&=& 0.56
\end{eqnarray*}

$x=60$ คะแนน จะได้

\begin{eqnarray*}
z &=& \frac{60 -  44.4}{10}\\
&=& \frac{15.6}{10}\\
&=& 1.56
\end{eqnarray*}

[STEP]หาพื้นที่ระหว่าง $z=0.56$ ถึง $z=1.56$[/STEP]

จากกราฟเส้นโค้งปกติดังรูปข้างต้น จะเห็นว่า

พื้นที่จาก $z=0$ ถึง $z=1.56$ เป็น $0.4406$ และ

พื้นที่จาก $z=0$ ถึง $z=0.56$ เป็น $0.2123$

ดังนั้น พื้นที่ระหว่าง $z=0.56$ ถึง $z=1.56$ ซึ่งก็คึอส่วนที่แรเงา เท่ากับ

\begin{eqnarray*}
0.4406 - 0.2123 &=& 0.2283
\end{eqnarray*}

คิดเป็น $0.2283 \times 100 = 22.83 \%$

 

[ANS] $22.83\%$ [/ANS]